MATERIALIEN ZUR WEITERFÜHRENDEN ANALYSIS

FÜR DAS LEHRAMT IM WINTERSEMESTER 2020


 

Die Vorlesung besteht aus zwei Teilen:

  • Maß- und Integrationstheorie (Kapitel 14 bis 19)
  • Potentialtheorie und Integralsätze (Kapitel 20 und 21)

Literatur

 

Lehrbücher und Monografien

  • Burk, F.: A garden of integrals. AMS, 2007
  • de Jong, T.: Analysis. Pearson, 2020
  • Evans, L.C.; Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions. Taylor & Francis Inc., 1991
  • Falconer, K.: The geometry of fractal sets. Cambridge University Press, 1986
  • Falconer, K.: Fractal geometry. Wiley, 2013
  • Falconer, K.: Fractals - A very short introduction. Oxford, 2013
  • Forster, O.: Analysis 3. Springer, 2017
  • Hildebrandt, S.: Analysis 2. Springer, 2003
  • Kurtz, D.S.; Swartz, C.W.: Theories of integration. World Scientific, 2004
  • Mandelbrot, B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Springer, 2014
  • Roger, C.A. Hausdorff measures. Cambridge University Press, 1970
  • Sauvigny, F.: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und Physik. Springer, 2004
  • Sauvigny, F.: Analysis. Springer, 2013

Vorlesungen

  • Ecker, K.: Analysis III, FU Berlin, Wintersemester 2008
  • Lehn, M.: Analysis III, JGU Mainz, Wintersemester 2003
  • Sauvigny, F.: Analysis 3, BTU Cottbus, Wintersemester 1993

Vorlesungsinhalt

 

Teil V: Maß- und Integrationstheorie

14 Das Lebesguesche Maß

14.1 Das Maßproblem

14.1.1 Ein erstes Beispiel

14.1.2 Um was es geht

14.1.3 Aufgaben und Wiederholungsfragen

14.2 Der Jordaninhalt

14.2.1 Jordanmessbare Mengen

14.2.2 Eigenschaften des Jordaninhaltes

14.2.3 Subadditivität

14.2.4 Was soll ein Maß leisten?

14.2.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

14.3 Das Lebesguemaß

14.3.1 Definition

14.3.2 Erste Eigenschaften

14.3.3 Jordaninhalt und äußeres Lebesguemaß

14.3.4 Subadditivität

14.3.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

14.4 Lebesguemessbare Mengen

14.4.1 Definition Lebesguemessbarer Mengen

14.4.2 Alternative Definition der Lebesguemessbarkeit

14.4.3 Erste Beispiele Lebesguemessbarer Mengen

14.4.4 Jordanmessbarkeit und Lebesguemessbarkeit

14.4.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

14.5 Sigma-Algebren

14.5.1 Der Begriff der Sigma-Algebra

14.5.2 Die Sigma-Algebra der Lebesguemessbaren Mengen

14.5.3 Lebesguemessbarkeit offener und abgeschlossener Mengen

14.5.4 Borelmengen

14.5.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

14.6 Approximation Lebesguemessbarer Mengen

14.6.1 Der Approximationssatz

14.6.2 Aufgaben und Wiederholungsfragen

15 Lebesguemessbare Funktionen

15.1 Einführung Lebesguemessbarer Funktionen

15.1.1 Definition

15.1.2 Erste Beispiele Lebesguemessbarer Funktionen

15.1.3 Rechnen im erweiterten Zahlenraum

15.1.4 Eigenschaften Lebesguemessbarer Funktionen

15.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

15.2 Approximation Lebesguemessbarer Funktionen

15.2.1 Einfache Funktionen

15.2.2 Ein Approximationssatz

15.2.3 Aufgaben und Wiederholungsfragen

16 Das Lebesguesche Integral

16.1 Historische Einführung

16.1.1 Lebesgues Zugang durch Unterteilung der Ordinaten

16.1.2 Youngs Zugang nach Riemann-Darboux

16.1.3 Aufgaben

16.1.4 Wiederholungsfragen

16.2 Ein dritter Zugang zum Lebesgueintegral

16.2.1 Das Lebesgueintegral für einfache Funktionen

16.2.2 Das Lebesgueintegral für nichtnegative Funktionen

16.2.3 Das Lebesgueintegral für beliebige Funktionen

16.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen

16.3 Eigenschaften des Lebesgueintegrals

16.3.1 Das Lebesgueintegral als Maß

16.3.2 Der Satz von der monotonen Konvergenz

16.3.4 Linearität des Lebesgueintegrals

16.3.5 Nichtnegativität, Normiertheit und Dreiecksungleichung

16.3.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen

16.4 Die Tschebyschevsche Ungleichung und Folgerungen

16.4.1 Die Tschebyschevsche Ungleichung

16.4.2 Fast überall verschwindende Integranden

16.4.3 Endlichkeit fast überall Lebesgueintegrierbarer Funktionen

16.4.4 Absolutstetigkeit des Lebesguesmaßes

16.4.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

17 Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen

17.1 Konvergenzsätze

17.1.1 Fatous Lemma

17.1.2 Satz über majorisierte Konvergenz

17.1.3 Satz über beschränkte Konvergenz

17.1.4 Lebesgueintegral und Riemannintegral

17.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

17.2 Die Sätze von Fubini und Cavalieri

17.2.1 Doppelintegrierbare Funktionen

17.2.2 Das Prinzip des Cavalieri

17.2.3 Der Satz von Fubini

17.2.4 Anwendung: Fläche unterhalb von Graphen

17.2.5 Anwendung: Inhalt von Normalbereichen

17.2.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen

17.3 Die Transformationsformel

17.4.1 Die Flächenformel

17.4.2 Anwendung: Die Länge einer Kurve

17.4.3 Anwendung: Zweidimensionale Graphen im R3

17.4.4 Die Transformationsformel

17.4.5 Beispiel: Inhalt der Kreisscheibe

17.4 Lebesgueräume

17.4.1 Definition

17.4.2 Lebesgue-Halbnormen

17.4.3 Der Satz von Fischer und Riesz

17.4.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen

18 Das Hausdorffsche Maß

18.1 Das Hausdorffmaß

18.1.1 Definition des Hausdorffmaßes

18.1.2 Erste Beispiele

18.1.3 Verhalten unter Skalierung

18.1.4 Verhalten unter Hölder- und Lipschitzabbildungen

18.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen

18.2 Die Hausdorffdimension

18.2.1 Definition der Hausdorffdimension

18.2.2 Erste Eigenschaften der Hausdorffdimension

18.2.3 Invarianzeigenschaft der Hausdorffdimension

18.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen

18.3 Fraktale Mengen

18.3.1 Der Cantorstaub

18.3.2 Fraktale Dimension

18.3.3 Die Cantorsche Mittel-Drittel-Menge

18.3.4 Die Ähnlichkeitsdimension

18.3.5 Die Kochsche Schneeflocke

18.3.6 Weierstraß' nirgends differenzierbare Funktion

18.3.7 Boxdimension und Pegelhöchststände des Rheins

18.3.8 Hilberts flächenfüllende Kurve

18.3.9 Aufgaben und Wiederholungsfragen

Teil VI: Potentialtheorie und Integralsätze

19 Potentialtheorie

19.1 Klassische Differentialoperatoren

19.1.1 Vektorfelder

19.1.2 Die Divergenz und die Jacobimatrix

19.1.3 Die Rotation

19.1.4 Potentiale und Gradientenfelder

19.1.5 Laplaceoperator und harmonische Funktionen

19.1.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen

19.2 Potentiale und Gebietszusammenhang

19.2.1 Zusammenhang und Wegzusammenhang

19.2.2 Sternförmige Gebiete

19.2.3 Existenz von Gradientenfeldern

19.2.4 Aufgaben und Wiederholungsfragen

19.3 Kurvenintegrale

19.3.1 Reguläre Kurven und ihre Parametrisierungen

19.3.2 Definition des Kurvenintegrals

19.3.3 Zusammengesetzte Kurven

19.3.4 Kurvenintegrale über Gradientenfelder

19.3.5 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen

19.3.6 Pfaffscher Formen

19.3.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen

19.4 Flächenintegrale

19.4.1 Flächen und ihre Parametrisierungen

19.4.2 Tangentialraum und Normalenraum

19.4.3 Erste Fundamentalform und Flächeninhalt

19.4.4 Polygonapproximation für Länge und Inhalt

19.4.5 Differential-2-Formen und Flächenintegrale

19.4.6 Das Flächenintegral als Flussintegral

19.4.7 Aufgaben und Wiederholungsfragen

20 Integralsätze

20.1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene

20.1.1 Normalbereiche

20.1.2 Vorbereitung zum Integralsatz

20.1.3 Bemerkungen

20.1.4 Der erste Integralsatz

20.1.5 Der Divergenzsatz I

20.2 Der Gaußsche Integralsatz in höheren Dimensionen

20.2.1 Normalbereiche

20.2.2 Der Divergenzsatz II