20. Integralsätze


 

20.1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene

 

20.1.1 Normalbereiche

 

In ➝ Paragraph 17.2.5 haben wir bereits den Begriff des Normalbereichs bez. der \( y \)-Achse kennengelernt:

 

Es seien nämlich \( -\infty\lt a\le b\lt\infty \) reelle Zahlen und \( \varphi,\psi\in C^0([a,b],\mathbb R) \) stetige Funktionen mit \[ \varphi(x)\le\psi(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in[a,b]. \] Dann heißt die Menge \[ {\mathcal N}_y:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,a\le x\le b,\ \varphi(x)\le y\le\psi(x)\} \] ein Normalbereich bez. der \( y \)-Achse.

 

Entsprechend bezeichnen wir mit \[ {\mathcal N}_x:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,c\le y\le d,\ \widetilde\varphi(y)\le x\le\widetilde\psi(y)\} \] mit reellen Zahlen \( -\infty\lt c\le d\lt\infty \) und stetigen Funktionen \( \widetilde\varphi,\widetilde\psi\in C^0([c,d],\mathbb R) \) mit \[ \widetilde\varphi(y)\le\widetilde\psi(y)\quad\mbox{für alle}\ y\in[c,d] \] einen Normalbereich bez. der \( x \)-Achse.

 

Definition: Eine Teilmenge \( {\mathcal N}\subset\mathbb R^2 \) heißt ein Normalbereich, falls \( {\mathcal N} \) gleichzeitig ein Normalbereich bez. der \( x \)-Achse und ein Normalbereich bez. der \( y \)-Achse ist.

 


 

 

20.1.2 Vorbereitungen zum Integralsatz

 

Hilfssatz: Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) seien \( \varphi,\psi\colon[a,b]\to\mathbb R \) stetig. Es bezeichne \[ {\mathcal N}_y:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,a\le x\le b,\ \varphi(x)\le y\le\psi(x)\}\subset\mathbb R^2 \] einen Normalbereich bez. der \( y \)-Achse. Sei ferner \( f=(f_1,f_2)\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R^2 \) ein auf ganz \( \mathbb R^2 \) stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt \[ \int\limits_{{\mathcal N}_y}\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_a^b\big\{f_2(x,\psi(x))-f_2(x,\varphi(x))\big\}\,dx. \]

 

Beweis

 

Der Satz von Fubini und der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung zeigen \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_{{\mathcal N}_y}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,d\ell_2(x,y)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b\left(\ \int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\,dy\right)dx \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b\big\{f_2(x,\psi(x))-f_2(x,\varphi(x))\big\}\,dx, \end{array} \] was die Behauptung zeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Analog gewinnen wir den

 

Hilfssatz: Auf dem kompakten Intervall \( [c,d]\subset\mathbb R \) seien \( \widetilde\varphi,\widetilde\psi\colon[c,d]\to\mathbb R \) stetig. Es bezeichne \[ {\mathcal N}_x:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,c\le y\le d,\ \widetilde\varphi(y)\le x\le\widetilde\psi(y)\}\subset\mathbb R^2 \] einen Normalbereich bez. der \( x \)-Achse. Sei ferner \( f=(f_1,f_2)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 \) ein auf ganz \( \mathbb R^2 \) stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt \[ \int\limits_{{\mathcal N}_x}\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_c^d\big\{f_1(\widetilde\psi(y),y)-f_1(\widetilde\varphi(y),y)\big\}\,dy. \]

 


 

 

20.1.3 Parametrisierung des Randes

 

Wir kommen auf den ersten Hilfssatz des vorigen Paragraphens zurück. Der Rand \( \partial{\mathcal N}_y \) des Normalbereichs \( {\mathcal N}_y \) setzt sich dann aus folgenden vier Anteilen zusammen \[ \begin{array}{ll} (1) & \mbox{dem Bild von}\ \varphi(x)\ \mbox{für}\ a\le x\le b \\ (2) & \mbox{dem vertikalen Geradensegment}\ \{x=b,\ \varphi(b)\le y\le\psi(b)\} \\ (3) & \mbox{dem Bild von}\ \psi(x)\ \mbox{für}\ a\le x\le b \\ (4) & \mbox{dem vertikalen Geradensegment}\ \{x=a,\ \varphi(a)\le y\le\psi(a)\}\,. \end{array} \] Wir nehmen nun an, dass \( \varphi(x) \) und \( \psi(x) \) stetig und stückweise stetig differenzierbar sind, und dass somit, wie wir in Kapitel 19 diskutiert haben, \( \partial{\mathcal N}_x \) vermittels einer stetigen, stückweise stetig differenzierbaren und auf diesen Teilintervallen auch regulären Parametrisierung \( \gamma(t) \) dargestellt werden kann, genauer \[ \gamma=\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3^{-1}+\gamma_4^{-1} \] mit den einzelnen Parametrisierungen \[ \begin{array}{l} \gamma_1(t):=(t,\varphi(t)),\quad a\le t\le b, \\ \gamma_2(t):=(b,\varphi(b)+t(\psi(b)-\varphi(b))),\quad 0\le t\le 1, \\ \gamma_3(t):=(t,\psi(t)),\quad a\le t\le b, \\ \gamma_4(t):=(a,\varphi(a)+t(\psi(a)-\varphi(a))),\quad 0\le t\le 1. \end{array} \] Die Parametrisierung \( \gamma(t) \) (Achtung: es muss der Parameter \( t \) den einzelnen Parametrisierungen angepasst werden!) durchläuft den Rand \( \partial{\mathcal N}_y \) in mathematisch positivem Sinn, so dass also \( {\mathcal N}_y \) stets „zur Linken“ des Randes liegt.

 

Nun sind aber \[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_a^bf_2(x,\varphi(x))\,dx =\int\limits_a^bf_2(\gamma_1(t))\,dt =\int\limits_{\gamma_1}f_2(x,y)\,dx, \\ \displaystyle \int\limits_a^bf_2(x,\psi(x))\,dx =\int\limits_a^bf_2(\gamma_3(t))\,dt =-\int\limits_a^bf_2(\gamma_3^{-1}(t))\,dt =-\int\limits_{\gamma_3^{-1}}f_2(x,y)\,dx. \end{array} \] Beachten wir zudem \[ \int\limits_{\gamma_2}f_2(x,y)\,dx=0,\quad \int\limits_{\gamma_4^{-1}}f_2(x,y)\,dx=0, \] so erhalten wir in der Summe \[ \int\limits_{{\mathcal N}_y}\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_a^b\big\{f_2(x,\psi(x))-f_2(x,\varphi(x))\big\}\,dx =-\int\limits_\gamma f_2(x,y)\,dx. \] Damit haben wir ein zweidimensionales Integral über die partielle Ableitung \( \frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y} \) ausgedrückt durch ein Kurvenintegral über die Werte von \( f_2(x,y) \) entlang des Randes.

 

Gehen wir nun an den Anfang unserer Argumentation zurück und betrachten statt \( {\mathcal N}_y \) einen Normalbereich \( {\mathcal N}_x \) bez. der \( x \)-Achse, dessen Rand \( \partial{\mathcal N}_x \) parametrisiert werden kann vermittels einer stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Abbildung \( \widetilde\gamma(t), \) deren Bild den Normalbereich in mathematisch positivem Sinn umläuft. Ausgehend vom zweiten Hilfssatz aus dem vorigen Abschnitt, gelangen wir dann zu \[ \int\limits_{{\mathcal N}_x}\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_c^d\big\{f_1(\widetilde\psi(y),y)-f_1(\widetilde\varphi(y),y)\big\}\,dy =\int\limits_{\widetilde\gamma}f_1(x,y)\,dy. \] Achten Sie dabei auf das positive Vorzeichen vor dem rechts stehenden Kurvenintegral.

 


 

 

20.1.4 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene

 

Wir betrachten nun ebene Normalbereiche als Parameterbereiche \( \Omega\subset\mathbb R^2, \) d.h. Mengen, die zugleich Normalbereiche bez. der \( x \)-Achse sowie Normalbereiche bez. der \( y \)-Achse sind. Dann gelten auch gleichzeitig die beiden Identitäten aus dem vorigen Paragraphen \[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_\Omega\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}\,d\ell_2(x,y)=\int\limits_\gamma f_1(x,y)\,dy\quad\mbox{und} \\ \displaystyle \int\limits_\Omega\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_\gamma f_2(x,y)\,dx \end{array} \tag{\( * \)} \] mit einer geeigneten Randparametrisierung \( \gamma(t), \) die wir, wie im vorigen Paragraphen beschrieben, aus den Funktionen gewinnen, die den Normalbereich erzeugen.

 

Für viele Anwendungen sind solche Normalgebiete allerdings nicht allgemein genug. Wir geben Beispiele anderer Charakterisierungen von Gebieten, auf denen ebenfalls der nachstehende Gaußsche Integralsatz bewiesen werden kann:

\( \circ \) In F. Erwe: Differential- und Integralrechnung II wird der Satz bewiesen für Gebiete, die berandet sind durch gewisse einfach geschlossene, stückweise stetig differenzierbare Jordankurven. Der Beweis geschieht in drei Schritten: Beweis des Satzes auf \( {\mathcal N}_y \)-Normalbereichen, Zerlegung allgemeiner Bereiche in solche Normalbereiche, Approximation der eigentlichen Parameterbereiche durch Gebiete, berandet durch polygonale Streckenzüge; diese Methode würde die Art und Weise unserer Herangehensweise weiterführen und soll auch später an dieser Stelle eingearbeitet werden.
\( \circ \) In H. Heuser: Analysis 2 wird der Satz für BV-Normalbereiche bewiesen, d.h. für Normalbereiche, deren erzeugende Randfunktionen nur von beschränkter Variation sind, wie wir es schon in Paragraph 19.4.4 erwähnt haben.
\( \circ \) In T.M. Apostol: Mathematical Analysis wird gefordert, dass \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) beschränkt und die einfach geschlossene Randkurve \( \partial\Omega \) eine rektifizierbare Jordankurve ist, worauf auch in Heusers Lehrbuch verwiesen wird.
\( \circ \) In L.C. Evans und R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions wird eine Form des Gaußschen Integralsatzes bewiesen mit der Bemerkung: In particular, we see that the Gauss-Green Theorem is valid for ... an open set with Lipschitz boundary.

 

Eventuell kann unser Satz also auch auf Mengen bewiesen werden, die nicht Normalbereiche in unserem Sinne darstellen, darunter insbesondere auch zu zählen sind:

\( \circ \) beschränkte Mengen, die sich durch endlich viele horizontale bzw. vertikale Schnitte in endlich viele Normalbereiche zerlegen lassen; auf jedem dieser Normalbereiche wird der Integralsatz bewiesen, durch anschließende Addition aller Identitäten kürzen sich die Integrale über innere Schnittkanten heraus;
\( \circ \) mehrfach zusammenhängende beschränkte Mengen, die durch endlich viele, disjunkte und einfach geschlossene Kurven im vorigen Sinne berandet werden, und wo erneut endlich viele horizontale bzw. vertikale Schnitte endlich viele Normalbereiche erzeugen; das Randintegral in nachstehendem Satz ist dann eine Summe aus Kurvenintegralen über die einzelnen Randkomponenten.

 

Eine einführende Diskussion findet sich auch in Courant, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 2. Band.

 

Aus diesen Gründen, dass also die zu stellenden Voraussetzungen an die Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) und deren Rand \( \partial\Omega \) wesentlich von Art und Weise des mathematischen Beweises abhängen, kommt man oft überein, als einen Normalbereich einfach einen Bereich zu bezeichnen, auf dem der Gaußsche Integralsatz (in der nachstehenden Form) gültig ist.

 

Durch Addition beider Gleichungen aus \( (*) \) folgt nämlich endlich der

 

Satz: Die beschränkte Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2, \) zusammen mit ihrem positiv orientieren Rand \( \partial\Omega, \) parametrisiert durch eine Abbildung \( \gamma(t), \) bezeichne einen Normalbereich im Sinne der letzten Bemerkung. Ferner sei \[ f=(f_1,f_2)\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R^2 \] ein auf ganz \( \mathbb R^2 \) stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt \[ \int\limits_\Omega\left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\right)d\ell_2(x,y) =\int\limits_\gamma\big\{f_1(x,y)\,dy-f_2(x,y)\,dx\big\}\,. \]

 

Alle Mengen in den Übungsaufgaben sind solche Normalgebiete, auf denen dieser Gaußsche Integralsatz gültig ist.

 


 

 

20.1.5 Der Gaußsche Divergenzsatz

 

Es bezeichne nun \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) einen Normalbereich im Sinne des vorigen Paragraphens. Wir nehmen zusätzlich an, dass dessen einfach geschlossene Randkurve \( \partial\Omega \) das Bild einer einzigen, stetig differenzierbaren und regulären Parametrisierung \[ \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)),\quad t\in[a,b], \] darstellt, die \( \Omega \) in mathematisch positivem Sinne umläuft. Insbesondere gilt \( \gamma(a)=\gamma(b). \) Wir deuten nun das Randintegral aus dem Gaußschen Integralsatz geometrisch.

 

Die geometrische Regularität an \( \gamma(t) \) besagt zunächst \[ |\dot\gamma(t)|=\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2}\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[a,b]. \] Mit der Randkurve betrachten wir nun ihren Einheitstangentialvektor \[ T(t):=\frac{\dot\gamma(t)}{|\dot\gamma(t)|}=\frac{(\dot\gamma_1(t),\dot\gamma_2(t))}{\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2}} \quad\mbox{mit}\quad |T(t)|\equiv 1 \] sowie ihren äußeren Einheitsnormalenvektor \[ N(t):=\frac{(\dot\gamma_2(t),-\dot\gamma_1(t))}{\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2}} \quad\mbox{mit}\quad |N(t)|\equiv 1. \] Es gilt \( \langle T(t),N(t)\rangle=0 \) für alle \( t\in[a,b]. \) Wir berechnen weiter \[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{\partial\Omega}\big\{f_1(x,y)\,dy-f_2(x,y)\,dx\big\} =\int\limits_a^b\big\{f_1(\gamma(t))\dot\gamma_2(t)\,dt-f_2(\gamma(t))\dot\gamma_1(t)\,dt\big\} \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_a^b\langle(f_1(\gamma(t)),f_2(\gamma(t)),N(t)\rangle\,\sqrt{\dot\gamma_1(t)^2+\dot\gamma_2(t)^2}\,dt. \end{array} \]

 

Satz: Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) ein Normalgebiet im Sinne des vorigen Paragraphen mit einer einzigen, einfach geschlossenen, stetig differenzierbaren und regulären Randkurve \( \partial\Omega, \) die \( \Omega \) in mathematisch positivem Sinn umläuft. Dann gilt für jede Abbildung \( f\in C^1(\mathbb R^2,\mathbb R^2) \) \[ \int\limits_\Omega\mbox{div}\,f(x,y)\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_{\partial\Omega}\langle f(x,y),N(x,y)\rangle\,ds. \]

 

Dabei ist das Integral rechts nichts weiter als eine „parameterfreie“, aber übersichtlichere Schreibweise für $$\int\limits_{\partial\Omega}\langle f(x,y),N(x,y)\rangle\,ds :=\int\limits_a^b\langle(f_1(\gamma(t)),f_2(\gamma(t)),N(t)\rangle\,|\dot\gamma(t)|\,dt.$$

 

Diese parameterfreie Schreibweise macht Sinn, da wir zwar anfangs Kurvenintegrale vermittels regulärer Kurvenparametrisierungen definiert und numerisch ausgewertet haben, aber im Nachtrag feststellten, dass es doch gar nicht darauf ankommt, welche solche reguläre Parametrisierung zur Beschreibung der Kurve verwendet wird - das Kurvenintegral ist hiervon unabhängig.

 

Das „Bogendifferential“ \( ds \) misst die „infinitesimal kleine Länge“ entlang der Randkurve \( \partial\Omega, \) siehe z.B. die Skizze (und natürlich den interessanten inhaltlichen Beitrag) in Blaise Pascals Betrachtungen zum Viertelbogen: Quarts de Cercle auf der Wikipedia-Seite zum Begriff des ➝ (Bogen-)Differentials.

 

Dazu passt endlich auch die bemerkenswerte Identität (in unserer neuen parameterfreien Schreibweise) \[ \int\limits_\Omega\mbox{div}\,N(x,y)\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_{\partial\Omega}1\,ds ={\mathcal L}[\partial\Omega] \] mit der Länge \( {\mathcal L}[\partial\Omega] \) der Randkurve \( \partial\Omega, \) die wir für die spezielle Wahl \( f(x,y)=N(x,y) \) dem Gaußschen Divergenzsatz entnehmen.

 


 

 

20.1.6 Aufgaben und Wiederholungsfragen

 

1. Was verstehen wir unter einem Normalbereich bez. der \( x \)-Achse und bez. der \( y \)-Achse?
2. Was versteht man unter einem Normalbereich?
3. Erläutern Sie kurz die Parametrisierung der Randkurve.
4. Wie haben wir den Begriff des Normalbereiches verallgemeinert?
5. Wie lautet die Integralidentität im Gaußschen Integralsatz?
6. Wie lautet die Integralidentität im Gaußschen Divergenzsatz? Erläutern Sie.
7. Es seien \( \Omega \) und \( \partial\Omega \) wie im Gaußschen Divergenzsatz gewählt.
 
(i) Zeigen Sie die Gültigkeit der Keplerschen Flächenformel

\[ \ell_2(\Omega)=\frac{1}{2}\int\limits_\gamma(x\,dy-y\,dx). \]

 
(ii) Berechnen Sie den Inhalt der elliptischen Fläche

\[ \Omega:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\} \quad\mbox{mit}\quad 0\lt a\lt b\lt\infty\,. \]

8. Verifizieren Sie den Gaußschen Divergenzsatz für die spezielle Situation

\[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\lt 1\}\,,\quad \partial\Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=1\} \]

  sowie

\[ f(x,y)=\frac{1}{2}\,(xy,0). \]

  Es sind also das Flächen- und das Kurvenintegral nach Einführung einer geeigneten Randparametrisierung zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Die Untersuchung von \( \Omega \) auf ein Normalbereich ist nicht gefragt.
9. Wir betrachten das stetig differenzierbare Vektorfeld

\[ f(x,y)=(xy,x^2-y^2),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \]

  sowie die Menge

\[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,0\le x\le 2,\ 2\le y\le 5\}\,. \]

  Verfizieren Sie den Gaußschen Divergenzsatz. Es sind also das Flächen- und das Kurvenintegral nach Einführung einer geeigneten Randparametrisierung zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Dabei erfüllen \( \Omega \) und \( \partial\Omega \) alle notwendigen Voraussetzungen.
10. Wir betrachten das stetig differenzierbare Vektorfeld

\[ f(x,y)=(x^3-y^3,y^3-x^3),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \]

  sowie die Menge

\[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le 1\}\,. \]

  Verfizieren Sie den Gaußschen Divergenzsatz. Es sind also das Flächen- und das Kurvenintegral nach Einführung einer geeigneten Randparametrisierung zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Dabei erfüllen \( \Omega \) und \( \partial\Omega \) alle notwendigen Voraussetzungen.
11. Die Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) und deren Rand \( \partial\Omega \) erfüllen die Voraussetzungen des Gaußschen Divergenzsatzes. Sei ferner \( \gamma\in C^1([a,b],\mathbb R^2) \) eine reguläre Parametrisierung von \( \partial\Omega, \) die \( \Omega \) in mathematisch positivem Sinn umläuft. Schließlich seien \( f,g\in C^1(\mathbb R^2,\mathbb R) \) zwei Funktionen. Beweisen Sie dann die folgende erste und zweite Greensche Identität:
 
(i) \( \displaystyle\int\limits_\Omega(f\triangle g+\langle\nabla f,\nabla g\rangle)\,d\ell_2(x,y)=\int\limits_a^bf\,\frac{\partial g}{\partial N}\,|\dot\gamma(t)|\,dt \)
(i) \( \displaystyle\int\limits_\Omega(f\triangle g-g\triangle f)\,d\ell_2(x,y)=\int\limits_a^b\left(f\,\frac{\partial g}{\partial N}-g\,\frac{\partial f}{\partial N}\right)|\dot\gamma(t)|\,dt \)
  mit den Normalenableitungen

\[ \frac{\partial f}{\partial N}:=\langle\nabla f,N\rangle\quad\mbox{usw.} \]

 

Rechenaufgaben: 7, 8, 9, 10, 11

 


 

20.2 Der klassische Stokessche Satz

 

20.2.1 Der klassische Satz von Stokes

 

Satz: Es gelten die folgenden Voraussetzungen:

(1) Die beschränkte und offene Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) genüge den Voraussetzungen des Gaußschen Integralsatzes in der Ebene. Ihr einfach geschlossener Rand \( \partial\Omega \) sei vermittels einer stetig differenzierbaren und regulären Parametrisierung \( \gamma(t) \) gegeben, die \( \Omega \) in mathematisch positivem Sinn umläuft.
(2) Es bezeichne \( M\subset\mathbb R^3 \) eine Immersion, gegeben als das Bild der regulären Abbildung

\[ X\in X^2(\Omega,\mathbb R^3), \]

  wobei wir genauer voraussetzen, dass eine beschränkte und offene Menge \( \Sigma\subset\mathbb R^2 \) existiert mit \( \Omega\subset\subset\Sigma \) und \( X\in X^2(\Sigma,\mathbb R^3). \) Ihr regulärer und eingebetteter Rand \( \partial M\subset\mathbb R^3 \) sei das bijektive Bild der eingeschränkten Abbildung \( X\circ\gamma(t). \)

Dann gilt für jedes Vektorfeld \( f\in C^1(\mathbb R^3,\mathbb R^3) \) die Identität \[ \int\limits_\Omega\langle\mbox{rot}\,f(X(u,v)),N\rangle\,W\,d\ell_2(u,v) =\int\limits_{\partial M}(f_1\,dx+f_2\,dy+f_3\,dz). \]

 

Beweis

 

Wir gehen in mehreren Schritten vor. Gebiet- und Kurvenintegral berechnen wir voneinander getrennt, wobei wir zwischen parametrischer und nichtparametrischer Darstellung mehrfach wechseln.

1. Zunächst ist

\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_{\partial M}f_1\,dx\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^bf_1(X(\gamma(t)))\,\frac{dx(\gamma(t))}{dt}\,dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^bf_1(X(\gamma(t))) \left\{\frac{\partial x(\gamma(t))}{\partial u}\,\dot\gamma_1(t)+\frac{\partial x(\gamma(t))}{\partial v}\,\dot\gamma_2(t)\right\}dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_{\partial\Omega}\{f_1x_u\,du+f_1x_v\,dv\}\,. \end{array} \]

  Nach dem Gaußschen Integralsatz in der Ebene können wir das letzte Integral auch so schreiben

\[ \int\limits_{\partial\Omega}\{f_1x_u\,du+f_1x_v\,dv\} =\int\limits_\Omega\left(\frac{\partial(f_1x_v)}{\partial u}-\frac{\partial(f_1x_u)}{\partial v}\right)d\ell_2(u,v). \]

  Die linke Seite hierin haben wir eben identifiziert als

\[ \int\limits_{\partial\Omega}\{f_1x_u\,du+f_1x_v\,dv\}=\int\limits_{\partial M}f_1\,dx, \]

  und jetzt wollen wir uns der Gestalt des rechts stehenden Integrals zuwenden.
2. Und zwar beginnen wir wegen \( x\in C^2(\Sigma,\mathbb R) \) mit dem Satz von Schwarz

\[ \partial_u(f_1x_v)-\partial_v(f_1x_u) =f_{1,u}x_v+f_1x_{vu}-f_{1,v}x_u-f_1x_{uv} =f_{1,u}x_v-f_{1,v}x_u\,. \]

  Dabei beachten wir wegen \( f_1=f_1(x,y,z) \) für die partiellen Ableitungen \( f_{1,u} \) und \( f_{1,v} \) nach der Kettenregel

\[ f_{1,u}=f_{1,x}x_u+f_{1,y}y_u+f_{1,z}z_u\,,\quad f_{1,v}=f_{1,x}x_v+f_{1,y}y_v+f_{1,z}z_v\,, \]

  und es folgt nach Umformen

\[ \begin{array}{lll} f_{1,u}x_v-f_{1,v}x_u\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle (f_{1,x}x_u+f_{1,y}y_u+f_{1,z}z_u)x_v-(f_{1,x}x_v+f_{1,y}y_v+f_{1,z}z_v)x_u \\ & = & \negthickspace\displaystyle f_{1,y}(y_ux_v-y_vx_u)+f_{1,z}(z_ux_v-z_vx_u) \\ & = & \negthickspace\displaystyle -\,f_{1,y}(x_uy_v-x_vy_u)+f_{1,z}(z_ux_v-z_vx_u) \end{array} \]

  bzw. unter Benutzung von Funktionaldeterminanten

\[ f_{1,u}x_v-f_{1,v}x_u -\,f_{1,y}\,\mbox{det}\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}+f_{1,z}\,\mbox{det}\,\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\,. \]

3. Die ersten beiden Beweispunkte fassen wir nun zusammen zu

\[ \int\limits_{\partial M}f_1\,dx =\int\limits_\Omega \left(-\,f_{1,y}\,\mbox{det}\,\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}+f_{1,z}\,\mbox{det}\,\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right)d\ell_2(u,v) \]

  bzw. unter Benutzung von \( 2 \)-Formen

\[ \int\limits_{\partial M}f_1\,dx =\int\limits_M(-f_{1,y}\,dx\wedge dy+f_{1,z}\,dz\wedge dx). \]

4. Analog ermitteln wir

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{\partial M}f_2\,dy=\int\limits_M(-f_{2,z}\,dy\wedge dz+f_{2,x}\,dx\wedge dy), \\ \displaystyle \int\limits_{\partial M}f_3\,dz=\int\limits_M(-f_{3,x}\,dz\wedge dx+f_{3,y}\,dy\wedge dz). \end{array} \]

  Addition der letzten drei Identitäten liefert

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{\partial M}(f_1\,dx+f_2\,dy+f_3\,dz) \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_M\big\{(f_{3,y}-f_{2,z})\,dy\wedge dz+(f_{1,z}-f_{3,x})\,dz\wedge dx+(f_{2,x}-f_{1,y})\,dx\wedge dy\big\}\,. \end{array} \]

  Mit dem Einheitsnormalvektor \( N(u,v) \) ist also

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{\partial M}(f_1\,dx+f_2\,dy+f_3\,dz) \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_\Omega\langle(f_{3,y}-f_{2,z},f_{1,z}-f_{3,x},f_{2,x}-f_{1,y}),N\rangle\,W\,d\ell_2(u,v), \end{array} \]

  und im rechts stehenden Integral erkennen wir die Rotation \( \mbox{rot}\,f(x,y,z) \) wieder.

 

Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

 

 


 

 

20.2.2 Parametrische Beschreibung des Randintegrals

 

Wir knüpfen nun an Paragraph 14.1.5 an. Die geschlossene Randkurve \( \partial\Omega \) sei das Bild einer einzigen, stetig differenzierbaren und regulären Parametrisierung \[ \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t)),\quad t\in[a,b], \] mit der Eigenschaft \[ |\gamma(t)|\gt 0,\quad t\in[a,b]. \] Wir bezeichnen wieder mit \[ T(t):=\frac{\dot\gamma(t)}{|\dot\gamma(t)|}\in\mathbb R^2\,,\quad t\in[a,b]. \] Ferner benötigen wir von der Randkurve \( \partial M \) die parametrische Darstellung \[ \omega(t):=X(\gamma(t))=X\circ\gamma(t),\quad t\in[a,b], \] mit dem Einheitstangentialvektor \[ \widetilde T(t):=\frac{\dot\omega(t)}{|\dot\omega(t)|}\in\mathbb R^3\,,\quad t\in[a,b]. \] Dabei beachten wir wegen \( X(u(t),v(t)) \) mit \( \gamma(t)=(u(t),v(t)) \) entlang des Randes \( \partial\Omega \) \[ \dot\omega(t)=X_u\dot\gamma_1(t)+X_v\dot\gamma_2(t) \] und daher (wir lassen die Argumente weg) \[ \begin{array}{lll} |\dot\omega(t)|\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sqrt{\langle X_u,X_v\rangle\gamma_1^2+2\langle X_u,X_v\rangle\dot\gamma_1\dot\gamma_2+\langle X_v,X_v\rangle\dot\gamma_2^2} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sqrt{g_{11}\dot\gamma_1^2+2g_{12}\dot\gamma_1\dot\gamma_2+g_{22}\dot\gamma_2^2} \end{array} \] mit den Koeffizienten \( g_{ij}=\langle X_{u^i},X_{u^j}\rangle \) mit \( i,j=1,2 \) der ersten Fundamentalform der Abbildung \( X(u,v). \) Jetzt fahren wir wie folgt fort: \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_{\partial M}(f_1\,dx+f_2\,dy+f_3\,dz)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b(f_1\dot\omega_1(t)\,dt+f_2\dot\omega_2(t)\,dt+f_3\dot\omega_3(t)\,dt) \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b\langle(f_1,f_2,f_3),(\dot\omega_1(t),\dot\omega_2(t),\dot\omega_3(t))\rangle\,dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_a^b\langle f,\widetilde T(t)\rangle\,|\dot\omega(t)|\,dt. \end{array} \] Damit schreibt sich der klassische Stokessche Satz in der Form (ohne Argumente) \[ \int\limits_\Omega\mbox{rot}\,f(X(u,v)),N\rangle\,W\,d\ell_2(u,v) =\int\limits_a^b\langle f,\widetilde T\rangle\,|\sqrt{g_{11}\dot\gamma_1^2+2g_{12}\dot\gamma_1\dot\gamma_2+g_{22}\dot\gamma_2^2}\,\,dt. \]

 


 

 

20.2.3 Der Stokessche Satz in der Ebene und ein Beispiel

 

Aus dem Gaußschen Integralsatz in der Ebene erhalten wir sofort die spezielle Form \[ \int\limits_\Omega\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}\right)d\ell_2(x,y) =\int\limits_{\partial\Omega}\big\{f_1(x,y)\,dx+f_2(x,y)\,dy\big\} \] durch Anwendung des Satzes auf das Vektorfeld \( g(x,y)=(f_2(x,y),-f_1(x,y)). \) Diese Identität bezeichnet man auch als Stokesschen Satz in der Ebene.

 

Wir wollen den Stokesschen Satz in der Ebene verifizieren für den Fall des stetig differenzierbaren Vektorfeldes \[ f(x,y):=(x^4-y^3,x^3-y^4),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] auf der Menge \[ \Omega:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le 1\}\,. \] Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Menge \( \Omega \) gleichzeitig die Fläche \( M \) „darstellt“ vermöge der Abbildung \( X(u,v)=(u,v,0). \)

1. Zunächst ermitteln wir das Gebietsintegral. Es wird \( \partial\Omega \) regulär parametrisiert durch

\[ \gamma(t)=(\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\pi]. \]

  Wir berechnen mit Hilfe der Transformationsformel und des Satzes von Fubini (und unter Beachtung der üblichen Argumente)

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_\Omega\big\{\partial f_2(x,y)-\partial_yf_1(x,y)\big\}\,d\ell_2(x,y) \\ \qquad\displaystyle =\,3\int\limits_\Omega(x^2+y^2)\,d\ell_2(x,y) \,=\,3\int\limits_{(0,1)\times(0,2\pi)}r^2\cdot r\,d\ell_2(r,\varphi) \\ \qquad\displaystyle =\,3\int\limits_0^{2\pi}\left(\,\int\limits_0^1r^3\,dt\right)d\varphi \,=\,\frac{3\pi}{2}\,. \end{array} \]

2. Nun kommen wir zur Berechnung des Randintegrals. Mit

\[ g_{11}=1,\quad g_{12}=g_{21}=0,\quad g_{22}=1 \]

  und

\[ \omega(t)=\gamma(t),\quad \widetilde T(t)=T(t) \]

  ermitteln wir

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\langle f,\widetilde T(t)\rangle\,|\dot\gamma(t)|\,dt \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_0^{2\pi}\langle(\cos^4t-\sin^3t,\cos^3t-\sin^4t),(-\sin t,\cos t)\rangle\,dt \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_0^{2\pi}(-\sin t\cos^4t+\sin^4t+\cos^4t-\sin^4t\cos t)\,dt \\ \qquad\displaystyle =\,\int\limits_0^{2\pi}(-\sin t\cos^4t+(\sin^2t+\cos^2t)^2-2\sin^2t\cos^2t-\sin^4t\cos t)\,dt \\ \qquad\displaystyle =\,-\,\int\limits_0^{2\pi}\sin t\cos^4t+\int\limits_0^{2\pi}dt-2\int\limits_0^{2\pi}(\sin t\cos t)^2\,dt-\int\limits_0^{2\pi}\sin^4t\cos t\,dt \\ \qquad\displaystyle =\,-\,\int\limits_0^{2\pi}\sin t\cos^4t+\int\limits_0^{2\pi}dt-\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{2\pi}\sin^2(2t)\,dt-\int\limits_0^{2\pi}\sin^4t\cos t\,dt. \end{array} \]

  Die Berechnung der einzelnen Integrale ergibt

\[ \int\limits_0^{2\pi}\langle f,\widetilde T(t)\rangle\,|\dot\gamma(t)|\,dt =0+2\pi-\frac{\pi}{2}-0 =\frac{3\pi}{2}\,. \] Gebietsintegral und Randintegral stimmen also überein, womit der Stokessche Integralsatz in der Ebene verifiziert ist.