AUFGABEN ZUR VORLESUNG MATHEMATIK FÜR PHYSIKER 2A


 

 

Vorbereitungsblatt

 

Aufgabe V1: (Definition der Betragsfunktion)

Wie ist die Betragsfunktion \( |\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R \) definiert? Skizzieren Sie die Funktion.

 

Lösung

 

Aufgabe V2: (Eigenschaften der Betragsfunktion)

Beweisen Sie:

(i) \( |x|\ge 0 \) für alle \( x\in\mathbb R \)
(ii) \( |x|\le a \) genau dann, wenn \( -a\le x\le a, \) wobei \( a\ge 0 \)
(iii) \( |x+y|\le|x|+|y| \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(iv) \( \big||x|-|y|\big|\le|x-y| \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)

 

Lösung

 

Aufgabe V3: (Eine schwierige Betragsabschätzung)

Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) gilt \[ |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\ge 0 \] (siehe Delgado, R.V.; Manfrino, R.B.; Ortega J.A. 2009, Exercise 1.6).

 

Lösung

 

Aufgabe V4: (Quadratische Ergänzung und mehr)

Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:

(i) \( 1+x\ge 2\sqrt{x} \) für alle \( x\ge 0 \)
(ii) \( \displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2 \) für alle \( x\gt 0 \)
(iii) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(iv) \( 2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2 \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(v) \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \)
(vii) \( \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y} \) für alle \( x,y\gt 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe V5: (Zwei weitere schwierige Abschätzungen)

Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:

(i) \( \displaystyle\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8 \) für alle \( x,y\gt 1 \)
(ii) \( \displaystyle\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \) für alle \( x,y,z\ge 0 \)

 

Lösung

 

Aufgabe V6: (Summenausdrücke)

(i) Beweisen Sie vermittels eines eigenen Arguments, aber nicht durch vollständige Induktion, dass gilt
 
\( \displaystyle\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \) für alle \( n=1,2,3,\ldots \)
(ii) Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion die Richtigkeit von
 
\( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) für alle \( n=1,2,3,\ldots \)
(iii) Leiten Sie aus (i) und (ii) eine explizite Darstellung von \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^3 \) her.

 

Lösung

 

Aufgabe V7: (Summen und Produkte)

Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i\,. \]

 

Lösung

 

Aufgabe V8: (Definition der Winkelfunktionen)

Wie wurden in der Vorlesung die Winkelfunktionen \( \sin x \) und \( \cos x \) definiert? Geben Sie insbesondere Reihenentwicklungen dieser Funktionen an, und erläutern Sie die Funktionen am Einheitskreis.

 

Lösung

 

Aufgabe V9: (Rechnen mit Winkelfunktionen)

(i) Verdeutlichen Sie am Einheitskreis \( \sin^2x+\cos^2x=1 \) für alle \( x,y\in\mathbb R. \)
(ii) Beweisen Sie mit Hilfe von (i): \( \displaystyle\frac{1}{2}\le\sin^4x+\cos^4x\le 1 \) für alle \( x\in\mathbb R. \)

 

Lösung

 

Aufgabe V10: (Additionstheoreme)

Wie lauten die Additionstheoreme für die Sinusfunktion und für die Kosinusfunktion? Leiten Sie daraus insbesondere die folgenden Verdopplungsformeln her \[ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \quad\mbox{für alle}\ \alpha\in\mathbb R. \]

 

Lösung

 

Aufgabe V11: (Spezielle Werte der Winkelfunktionen)

Ermitteln Sie elementargeometrisch und/oder rechnerisch: \[ \begin{array}{l} \displaystyle\sin 0,\quad\sin\frac{\pi}{6}\,,\quad\sin\frac{\pi}{4}\,,\quad\sin\frac{\pi}{3}\,,\quad\sin\frac{\pi}{2}\,, \\ \displaystyle\cos 0,\quad\cos\frac{\pi}{6}\,,\quad\cos\frac{\pi}{4}\,,\quad\cos\frac{\pi}{3}\,,\quad\cos\frac{\pi}{2}\,. \end{array} \]

 

Lösung

 

Aufgabe V12: (Anwendung der Additionstheoreme)

Beweisen Sie: Wenn \( \cos(\alpha+\beta)=0, \) so gilt \[ \sin(\alpha+2\beta)=\sin\alpha. \]

 

Lösung

 

Aufgabe V13: (Stetigkeit und Differenzierbarkeit I)

Wann heißt nach dem \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Kriterium eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in\mathbb R \) stetig, wann in \( x_0\in\mathbb R \) differenzierbar?

 

Lösung

 

Aufgabe V14: (Stetigkeit und Differenzierbarkeit II)

Beweisen Sie: Ist die Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) im Punkt \( x_0\in\mathbb R \) differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?

 

Lösung

 

Aufgabe V15: (Übung zur Stetigkeit)

Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) nicht stetig ist.

 

Lösung

 

Aufgabe V16: (Übung zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit I)

Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x\cdot\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) stetig ist, aber nicht differenzierbar ist.

 

Lösung

 

Aufgabe V17: (Übung zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit II)

Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x^2\cdot\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) stetig und differenzierbar ist.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 1

 

Übung 1: (Gegenseitige Abschätzung von Unter- und Obersummen)

Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) sei die beschränkte Funktion \( f\colon Q\to\mathbb R \) gegeben. Sei ferner \( \mathfrak Z \) eine Zerlegung von \( Q \) in Teilquader \( Q_i. \) Beweisen Sie: \[ m|Q|\le s(f,\mathfrak Z)\le S(f,\mathfrak Z)\le M|Q| \] mit den Setzungen \( m:=\inf\,\{f(x)\,:\,x\in Q\} \) und \( M:=\sup\,\{f(x)\,:\,x\in Q\}. \)

 

Lösung

 

Übung 2: (Monotonie der Riemannschen Unter- und Obersummen)

Es seien \( \mathfrak Z \) und \( \mathfrak Z^* \) zwei Zerlegungen eines kompakten Quaders \( Q\subset\mathbb R^n \) in Teilquader \( Q_i \) bzw. \( Q_k^*. \) Wir setzen \[ m_i:=\inf\,\{f(x)\,x\in Q_i\}\,,\,\ldots,,\,M_k^*:=\sup\,\{f(x)\,:\,x\in Q_k^*\}\,. \] Wir sagen, die Zerlegung \( \mathfrak Z^* \) ist eine Verfeinerung der Zerlegung \( \mathfrak Z, \) falls für alle \( k\in\mathfrak N^* \) ein \( i=i(k) \) existiert mit \( Q_k^*\subseteq Q_i, \) d.h. wenn \( \mathfrak Z^* \) in \( \mathfrak Z \) enthalten ist.

(i) Skizzieren Sie diese Situation an einem selbstgewählten Beispiel.
(ii) Beweisen Sie allgemein: Ist \( \mathfrak Z^* \) eine Verfeinerung von \( \mathfrak Z, \) so gelten
 
\( s(f,\mathfrak Z^*)\ge s(f,\mathfrak Z),\quad S(f,\mathfrak Z^*)\le S(f,\mathfrak Z). \)

 

Lösung

 

Übung 3: (Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen)

Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) seien die Riemannintegrierbaren Funktionen \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) gegeben. Seien ferner \( \alpha,\beta\in\mathbb R. \) Beweisen Sie:

(i) Es sind ebenfalls auf \( Q \) Riemannintegrierbar
 
\( \alpha f,\quad f+g,\quad f\cdot g. \)
(ii) Das Riemannintegral ist linear, d.h. es gilt
 
\( \displaystyle \int\limits_Q\big\{\alpha f(x)+\beta g(x)\big\}\,dx =\alpha\int\limits_Qf(x)\,dx+\beta\int\limits_Qg(x)\,dx. \)
(iii) Existiert ein \( k\gt 0 \) mit \( |f(x)|\ge k \) für alle \( x\in Q, \) so ist auch Riemannintegrierbar auf \( Q \)
 
\( \displaystyle\frac{1}{f(x)}\,. \)

 

Lösung

 

Übung 4: (Monotonie des Riemannintegrals)

Es seien \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) zwei stetige Funktionen auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n. \)

(i) Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung \( f(x)\ge 0 \) für alle \( x\in Q \) gilt
 
\( \displaystyle\int\limits_Qf(x)\,dx\ge 0. \)
(ii) Folgern Sie, dass unter der Voraussetzung \( f(x)\le g(x) \) für alle \( x\in Q \) gilt
 
\( \displaystyle\int\limits_Qf(x)\,dx\le\int\limits_Qg(x)\,dx. \)

 

Lösung

 

Übung 5: (Der Betrag Riemannintegrierbarer Funktionen)

Es sei \( f\colon Q\to\mathbb R \) eine auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) Riemannintegrierbare Funktion.

(i) Beweisen Sie, dass folgende Abschneidefunktionen Riemannintegrierbar sind
 
\( \displaystyle f^+(x):=\left\{\begin{array}{cl} f(x), & \mbox{falls}\ f(x)\ge 0 \\ 0 & \mbox{sonst}\end{array}\right.,\quad f^-(x):=\left\{\begin{array}{cl} f(x), & \mbox{falls}\ f(x)\le 0 \\ 0 & \mbox{sonst}\end{array}\right.. \)
(ii) Beweisen Sie, dass der Betrag
 
\( |f(x)|=f^+(x)-f^-(x) \)
  auf \( Q \) Riemannintegrierbar ist.
(iii) Beweisen Sie die Dreiecksungleichung
 
\( \displaystyle\left|\,\int\limits_Qf(x)\,dx\right|\le\int\limits_Q|f(x)|\,dx. \)
(iv) Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: Ist \( |f(x)| \) Riemannintegrierbar auf \( Q, \) so auch \( f(x). \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 2

 

Übung 6: (Beispiele Jordanscher Nullmengen)

Welche der folgenden Mengen \( M \) ist eine Jordansche Nullmenge? Begr¨nden Sie.

(i) \( M=\{1,2,3,4,5\}\subset\mathbb R \)
(ii) \( M=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}\subset\mathbb R \)
(iii) \( M=\{1,2,3,4,5,6,\ldots\}\subset\mathbb R \)
(iv) \( M=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\le x\le 1\}\setminus\{x\in\mathbb R\,:\,-1\lt x\lt 1\}\subset\mathbb R \)
(v) \( M=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=1\}\subset\mathbb R^2 \)

 

Lösung

 

Übung 7: (Jordansche Nullmengen unter Abbildungen)

Beweisen Sie: Seien \( m,n\in\mathbb N \) natürliche Zahlen mit \( 1\le m\le n. \) Es sei ferner \( f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n \) eine Lipschitzstetige Abbildung mit der charakteristischen Eigenschaft \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R^m \] mit einer Lipschitzkonstanten \( L\in[0,\infty). \) Dann ist das Bild \( f(N) \) einer Jordanschen Nullmenge \( N\subset\mathbb R^m \) unter der Abbildung \( f \) eine Jordansche Nullmenge im \( \mathbb R^n. \)

 

Lösung

 

Übung 8: (Vereinigung und Durchschnitt von Jordanbereichen)

Es seien \( J_1,J_2\subset\mathbb R^n \) zwei Jordanbereiche. Beweisen Sie, dass dann auch \[ J_1\cup J_2\quad\mbox{und}\quad J_1\cap J_2 \] Jordanbereiche im \( \mathbb R^n \) sind.

 

Lösung

 

Übung 9: (Beispiele zum Satz von Fubini II)

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(i) \( \displaystyle\int\limits_T2xe^{x^2+2y}\,d(x,y) \) auf \( T:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,0\le x,y\le 1\} \)
(ii) \( \displaystyle\int\limits_T\frac{2z}{(x+y)^2}\,d(x,y) \) auf \( T:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,1\le x\le 2,\ 2\le y\le 3,\ 0\le z\le 2\} \)

 

Lösung

 

Übung 10: (Folgerung aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Hausaufgabe 7), dass für alle stetigen und positiven Funktionen \( f\colon Q\to\mathbb R \) auf einem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) die Abschätzung gilt \[ \left(\ \int\limits_Qf(x)\,dx\right)\left(\ \int\limits_Q\frac{1}{f(x)}\,dx\right)\ge|Q|^2\,. \]

 

Lösung

 

Übung 11: (Eine andere Integralungleichung)

Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) seien zwei positive und stetige Funktionen \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) gegeben, so dass mit zwei Konstanten \( 0\lt m\le M\lt\infty, \) welche \( mM\le 1 \) erfüllen, gilt \[ 0\lt m\le\frac{f(x)}{g(x)}\le M\lt\infty\quad\mbox{für alle}\ x\in Q. \] Beweisen Sie die Integralabschätzung \[ \frac{mM}{m+M}\int\limits_Q\Big\{f(x)^2+g(x)^2\Big\}\,dx \le\left(\ \int\limits_Qf(x)^2\,dx\right)^\frac{1}{2}\left(\ \int\limits_Qg(x)^2\,dx\right)^\frac{1}{2}\,. \]

 

Lösung

 

Übung 12: (Integration über Normalbereiche II)

Berechnen Sie den Wert des Integrals \[ \int\limits_N(2x+y+z)\,d(x,y,z), \] wobei der Normalbereich \( N \) von den Koordinatenebenen und der Ebene \( E\,:\,x+y+z=1 \) begrenzt wird.

 

Lösung

 

Übung 13: (Vertauschen von Limes und Integration II)

Betrachten Sie die Funktionenfolge \[ f_k(x):=\frac{2x}{1+k^3x^3}\,,\quad x\in[1,2]. \]

(i) Bestimmen Sie die Grenzfunktion \( \displaystyle f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x). \)
(ii) Begründen Sie, dass die Konvergenz gleichmäßig ist.
(iii) Ermitteln Sie den Grenzwert

\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_1^2f_k(x)\,dx. \]

 

Lösung

 

Übung 14: (Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz)

Wenden Sie auf die Funktionenfolge aus der vorigen Übung 13 den Satz von der majorisierten Konvergenz (in irgendeiner Form) an zur Berechnung des Grenzwertes \[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_1^2f_k(x)\,dx. \] Finden Sie dazu insbesondere eine geeignete Majorante \( F(x). \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 3

 

Übung 15: (Anwendung der Transformationsformel II)

Berechnen Sie die Gesamtmasse \[ M=\int\limits_{K_R}\varrho(x,y,z)\,d(x,y,z) \] der Kugel \[ K_R=\big\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2+z^2\le R^2\big\}\subset\mathbb R^3 \] vom Radius \( R, \) dessen Massendichte \( \varrho(x,y,z) \) linear mit dem Abstand vom Mittelpunkt von \( 0 \) auf \( 1 \) zunimmt.

 

Lösung

 

Übung 16: (Inhalt einer Fläche)

Unter Verwendung zweidimensionaler elliptischer Koordinaten \[ x=ar\cos\varphi,\quad y=br\sin\varphi \] berechne man den Inhalt der folgenden, von der Ellipse \[ E:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\} \] umrandeten Fläche.

 

Lösung

 

Übung 17: (Volumen eines Körpers)

Unter Verwendung dreidimensionaler elliptischer Koordinaten \[ x=ar\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y=br\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z=cr\cos\vartheta \] berechne man das Volumen des von dem Ellipsoiden \[ E:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\right\} \] umrandeten Körpers.

 

Lösung

 

Übung 18: (Komplizierte Integrale)

Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) im ersten Quadranten das Innere des Einheitskreises. Durch Transformation auf Polarkoordinaten berechne man die folgenden Integrale:

(i) \( \displaystyle\int\limits_\Omega\ln(1+x^2+y^2)\,d(x,y) \)
(ii) \( \displaystyle\int\limits_\Omega\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\,\,d(x,y) \)

 

Lösung

 

Übung 19: (Komplizierte Definitionsbereiche)

Mit den angegebenen Koordinatentransformationen berechne man

(i) den Wert des Integrals
 
\( \displaystyle I:=\int\limits_\Omega(x^2+y^2)\,d(x,y), \)
  wobei \( \Omega \) im ersten Quadranten von den folgenden Hyperbeln berandet wird
 
\( x^2-y^2=1,\quad x^2-y^2=9,\quad xy=2,\quad xy=4; \)
  benutze dabei die Transformation \( u:=x^2-y^2, \) \( v:=2xy. \)
(ii) den Wert des Integrals
 
\( \displaystyle J:=\int\limits_\Omega d(x,y), \)
  wobei \( \Omega \) im ersten Quadranten von den folgenden Hyperbeln berandet wird
 
\( xy=4,\quad xy=8,\quad xy^3=5,\quad xy^3=15; \)
  benutze dabei die Transformation \( u:=xy, \) \( v:=xy. \)

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 4

 

Übung 20: (Hyperbolisches Paraboloid)

Die Parametrisierung \[ X(u,v)=(u,v,u^2-v^2),\quad(u,v)\in B:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2\le 1\} \] erzeugt eine hyperbolisch gekrümmte Fläche, das sogenannte hyperbolische Paraboloid.

(i) Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an.
(ii) Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche?
(iii) Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie
 
\( N\cdot X_u=N\cdot X_v=0. \)
(iv) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \)
(v) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(vi) Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum.

 

Lösung

 

Übung 21: (Katenoid im \( \mathbb R^3 \))

Betrachten Sie die folgende Parametrisierung des Katenoids \[ X(u,v)=\left(2\cos u\cosh\frac{v}{2},2\sin u\cosh\frac{v}{2},v\right),\quad u\in[-\pi,\pi],\ v\in[-3,3]. \]

(i) Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an.
(ii) Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche?
(iii) Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie
 
\( N\cdot X_u=N\cdot X_v=0. \)
(iv) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \)
(v) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(vi) Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum.

 

Lösung

 

Übung 22: (Torus im \( \mathbb R^3 \))

Betrachten Sie die folgende Parametrisierung eines Torus \[ X(u,v)=\left(\cos v+\frac{1}{2}\,\cos u\cos v,\sin v+\frac{1}{2}\,\cos u\sin v,\frac{1}{2}\,\sin u\right),\quad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,2\pi]. \]

(i) Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an.
(ii) Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche?
(iii) Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie
 
\( N\cdot X_u=N\cdot X_v=0. \)
(iv) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \)
(v) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(vi) Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum.

 

Lösung

 

Übung 23: (Eine „Bonbonfläche“ im \( \mathbb R^3 \))

Betrachten Sie die folgende Parametrisierung einer „Bonbonfläche“ \[ X(u,v)=(u,\cos u\cos v,\cos u\sin v),\quad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,2\pi]. \]

(i) Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an.
(ii) Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche?
(iii) Berechnen Sie, wo möglich, den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie
 
\( N\cdot X_u=N\cdot X_v=0. \)
(iv) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \)
(v) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(vi) Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum.

 

Lösung

 

Übung 24: (Holomorphe Graphen im \( \mathbb R^4 \))

Betrachten Sie die folgende Parametrisierung \[ X(u,v)=(u,v,\varphi(u,v),\psi(u,v)),\quad (u,v)\in\Omega\subset\mathbb R^2\,, \] worin \( \varphi,\psi\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) Lösungen der folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind \[ \varphi_u(u,v)=\psi_v(u,v),\quad \varphi_v(u,v)=-\psi_u(u,v) \quad\mbox{in}\ \Omega. \]

(i) Berechen Sie die \( X_u \) und \( X_v, \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X\in\mathbb R^{4\times 2} \) auf.
(ii) Verifizieren Sie, dass

\[ N_1=\frac{1}{\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}}\,(-\varphi_u,\varphi_v,1,0),\quad N_2=\frac{1}{\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}}\,(\varphi_v,-\varphi_u,0,1) \]

  zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren an die Fläche sind. Verifizieren Sie
 
\( N_1\cdot X_u=N_1\cdot X_v=N_2\cdot X_u=N_2\cdot X_v=N_1\cdot N_2=0. \)
(iii) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \)
(iv) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(v) Geben Sie ein Beispiel solcher Funktionen \( \varphi \) und \( \psi \) an.

 

Lösung

 

Übung 25: (Komplexifizierung der Neilschen Parabel)

Betrachten Sie die folgende Parametrisierung \[ X(u,v)=(\mbox{Re}\,w^2,\mbox{Im}\,w^2,\mbox{Re}\,w^3,\mbox{Re}\,w^3),\quad w=u+iv, \] wobei \( (u,v)\in B:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2\le 1\}. \)

(i) Berechen Sie die \( X_u \) und \( X_v, \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X\in\mathbb R^{4\times 2} \) auf.
(ii) Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2}\in\mathbb R^{2\times 2} \) von \( X(u,v). \)
(iii) In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär?
(iv) Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum.

 

Lösung

 


 

 

Übungsblatt 5

 

Übung 26: (Übung zum Dachprodukt)

(i) \( \omega_1=x\,dx+y\,dy,\ \omega_2=y\,dx-x\,dy \) im \( \mathbb R^2 \)
(ii) \( \omega_1=xy\,dx+e^y\,dy,\ \omega_2=2x\,dy\wedge dz+y^2\,dx\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \)
(iii) \( \omega_1=x^2yz\,dx,\ \omega_2=y\,dx\wedge dy-dx\wedge dz+\sin(x+y)\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \)
(iv) \( \omega_1=xy\,dx\wedge dy+z\,dx\wedge dz,\ \omega_2=dx\wedge dz+2\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \)

 

Lösung

 

Übung 27: (Dachprodukt von \( 2 \)-Formen im \( \mathbb R^4 \))

Im \( \mathbb R^4 \) mit den Koordinaten \( (x_1,x_2,y_1,y_2) \) betrachten wir die \( 2 \)-Form \[ \omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2\,. \] Berechnen Sie \[ \omega\wedge\omega=\ldots dx_1\wedge dx_2\wedge dy_1\wedge dy_2\,. \]

 

Lösung

 

Übung 28: (Dachprodukt von \( 2 \)-Formen im \( \mathbb R^{2n} \))

Im \( \mathbb R^{2n} \) mit den Koordinaten \( (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n) \) betrachten wir die \( 2 \)-Form \[ \omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\ldots+dx_n\wedge dy_n\,. \] Beweisen Sie, dass für das \( n \)-fache Dachprodukt gilt \[ \omega\wedge\ldots\wedge\omega =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!\,(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)\wedge(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_n). \]

 

Lösung

 

Übung 29: (Assoziativgesetz für das Dachprodukt)

Es seien \( \omega_1, \) \( \omega_2 \) und \( \omega_3 \) drei beliebige Differentialformen. Beweisen Sie das Assoziativgesetz \[ (\omega_1\wedge\omega_2)\wedge\omega_3=\omega_1\wedge(\omega_2\wedge\omega_3). \]

 

Lösung

 

Übung 30: (Distributivgesetz für das Dachprodukt)

Seien \( \omega_1,\omega_2 \) zwei \( \ell \)-Formen und \( \omega_3 \) eine \( m \)-Form. Beweisen Sie das Distributivgesetz \[ (\omega_1+\omega_2)\wedge\omega_3=\omega_1\wedge\omega_3+\omega_2\wedge\omega_3\,. \]

 

Lösung

 

Übung 31: (Vertauschungsregel für das Dachprodukt)

Beweisen Sie: Für eine \( \ell \)-Form \( \omega_1 \) und eine \( m \)-Form \( \omega_2 \) gilt die Vertauschungsregel \[ \omega_1\wedge\omega_2=(-1)^{\ell m}\omega_2\wedge\omega_2\,. \]

 

Lösung

 

Übung 32: (Äußere Ableitung von Differentialformen)

(i) \( \omega_1=x^2\,dx+y\,dy \) im \( \mathbb R^2 \)
(ii) \( \omega_2=x\,dx+y\,dy+z\,dz \) im \( \mathbb R^3 \)
(iii) \( \omega_3=e^x\cos y\,dx\wedge dy+\sin(xyz)\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \)
(iv) \( \omega_4=e^{3x}y\,dx+xy\,dy+e^{2x}z\,dz \) im \( \mathbb R^3 \)
(v) \( \omega_5=2xz\,dy\wedge dz+dz\wedge dx-(z^2+e^x)\,dx\wedge dy \) im \( \mathbb R^3 \)
(vi) \( \omega_6=(x+\sin z)\,dx\wedge dy+y\,dx\wedge dz+xyz\,dy\wedge dz\) im \( \mathbb R^3 \)

 

Lösung

 

Übung 33: (Zweifache äußere Ableitung für \( 1 \)-Formen)

Mit Funktionen \( a,b,c\in C^2(\mathbb R^3,\mathbb R) \) betrachten wir die folgende \( 1 \)-Form im \( \mathbb R^3 \) \[ \omega=a\,dx+b\,dy+c\,dz. \] Beweisen Sie \[ d^2\omega=d(d\omega)=0. \]

 

Lösung

 

Übung 34: (Zweifache äußere Ableitung allgemein)

Mit Funktionen \( a_{i_1\ldots i_m}\in C^2(\mathbb R^n,\mathbb R) \) sei die folgende \( m \)-Form gegeben \[ \omega=\sum_{1\le i_1\lt\ldots\lt i_m\le n}a_{i_1\ldots i_m}\,dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_m}\,. \] Beweisen Sie \[ d^2\omega=d(d\omega)=0. \]

 

Lösung

 

Übung 35: (Ein Kurvenintegral entlang einer Spiralkurve)

Mit reellen Zahlen \( -\infty\lt a\lt b\lt +\infty \) sei im \( \mathbb R^2 \) die folgende Kurvenparametrisierung gegeben \[ X(t)=e^t(\cos t,\sin t),\quad t\in[a,b]. \] Berechnen Sie das Kurvenintegral \[ \int\limits_X\omega\quad\mbox{mit}\quad\omega:=x\,dy-y\,dx. \]

 

Lösung

 

Übung 36: (Berechnung von Kurvenintegralen)

Im \( \mathbb R^3 \) sei eine Kurve vorgelegt vermittels der Parametrisierung \[ X(t)=\left(e^{t\sin t},t^2-2\pi t,\cos\frac{t}{2}\right),\quad t\in[0,2\pi]. \]

(i) Verifizieren Sie, dass diese Abbildung im geometrischen Sinn regulär ist.

Berechnen Sie nun die Integrale

(ii) \( \displaystyle\int\limits_X(x\,dx+y\,dy+z\,dz) \)
(iii) \( \displaystyle\int\limits_Xz\,dy \)

 

Lösung