AUFGABEN ZUR VORLESUNG MATHEMATIK FÜR PHYSIKER 2A
Aufgabe V1: (Definition der Betragsfunktion)
Wie ist die Betragsfunktion \( |\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R \) definiert? Skizzieren Sie die Funktion.
Aufgabe V2: (Eigenschaften der Betragsfunktion)
Beweisen Sie:
| (i) | \( |x|\ge 0 \) für alle \( x\in\mathbb R \) |
| (ii) | \( |x|\le a \) genau dann, wenn \( -a\le x\le a, \) wobei \( a\ge 0 \) |
| (iii) | \( |x+y|\le|x|+|y| \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (iv) | \( \big||x|-|y|\big|\le|x-y| \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
Aufgabe V3: (Eine schwierige Betragsabschätzung)
Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb R \) gilt \[ |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\ge 0 \] (siehe Delgado, R.V.; Manfrino, R.B.; Ortega J.A. 2009, Exercise 1.6).
Aufgabe V4: (Quadratische Ergänzung und mehr)
Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:
| (i) | \( 1+x\ge 2\sqrt{x} \) für alle \( x\ge 0 \) |
| (ii) | \( \displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2 \) für alle \( x\gt 0 \) |
| (iii) | \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (iv) | \( 2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2 \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (v) | \( x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (vii) | \( \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y} \) für alle \( x,y\gt 0 \) |
Aufgabe V5: (Zwei weitere schwierige Abschätzungen)
Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen:
| (i) | \( \displaystyle\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8 \) für alle \( x,y\gt 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \) für alle \( x,y,z\ge 0 \) |
Aufgabe V6: (Summenausdrücke)
| (i) | Beweisen Sie vermittels eines eigenen Arguments, aber nicht durch vollständige Induktion, dass gilt |
|
|
|
| (ii) | Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion die Richtigkeit von |
|
|
|
| (iii) | Leiten Sie aus (i) und (ii) eine explizite Darstellung von \( \displaystyle\sum_{k=1}^nk^3 \) her. |
Aufgabe V7: (Summen und Produkte)
Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i\,. \]
Aufgabe V8: (Definition der Winkelfunktionen)
Wie wurden in der Vorlesung die Winkelfunktionen \( \sin x \) und \( \cos x \) definiert? Geben Sie insbesondere Reihenentwicklungen dieser Funktionen an, und erläutern Sie die Funktionen am Einheitskreis.
Aufgabe V9: (Rechnen mit Winkelfunktionen)
| (i) | Verdeutlichen Sie am Einheitskreis \( \sin^2x+\cos^2x=1 \) für alle \( x,y\in\mathbb R. \) |
| (ii) | Beweisen Sie mit Hilfe von (i): \( \displaystyle\frac{1}{2}\le\sin^4x+\cos^4x\le 1 \) für alle \( x\in\mathbb R. \) |
Aufgabe V10: (Additionstheoreme)
Wie lauten die Additionstheoreme für die Sinusfunktion und für die Kosinusfunktion? Leiten Sie daraus insbesondere die folgenden Verdopplungsformeln her \[ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \quad\mbox{für alle}\ \alpha\in\mathbb R. \]
Aufgabe V11: (Spezielle Werte der Winkelfunktionen)
Ermitteln Sie elementargeometrisch und/oder rechnerisch: \[ \begin{array}{l} \displaystyle\sin 0,\quad\sin\frac{\pi}{6}\,,\quad\sin\frac{\pi}{4}\,,\quad\sin\frac{\pi}{3}\,,\quad\sin\frac{\pi}{2}\,, \\ \displaystyle\cos 0,\quad\cos\frac{\pi}{6}\,,\quad\cos\frac{\pi}{4}\,,\quad\cos\frac{\pi}{3}\,,\quad\cos\frac{\pi}{2}\,. \end{array} \]
Aufgabe V12: (Anwendung der Additionstheoreme)
Beweisen Sie: Wenn \( \cos(\alpha+\beta)=0, \) so gilt \[ \sin(\alpha+2\beta)=\sin\alpha. \]
Aufgabe V13: (Stetigkeit und Differenzierbarkeit I)
Wann heißt nach dem \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Kriterium eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in\mathbb R \) stetig, wann in \( x_0\in\mathbb R \) differenzierbar?
Aufgabe V14: (Stetigkeit und Differenzierbarkeit II)
Beweisen Sie: Ist die Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) im Punkt \( x_0\in\mathbb R \) differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?
Aufgabe V15: (Übung zur Stetigkeit)
Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) nicht stetig ist.
Aufgabe V16: (Übung zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit I)
Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x\cdot\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) stetig ist, aber nicht differenzierbar ist.
Aufgabe V17: (Übung zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit II)
Zeigen Sie, dass die Funktion \[ f(x):= \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle x^2\cdot\sin\frac{1}{x} & \mbox{für}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\} \\ 0 & \mbox{für}\ x=0 \end{array} \right. \] im Punkt \( x_0=0 \) stetig und differenzierbar ist.
Übung 1: (Gegenseitige Abschätzung von Unter- und Obersummen)
Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) sei die beschränkte Funktion \( f\colon Q\to\mathbb R \) gegeben. Sei ferner \( \mathfrak Z \) eine Zerlegung von \( Q \) in Teilquader \( Q_i. \) Beweisen Sie: \[ m|Q|\le s(f,\mathfrak Z)\le S(f,\mathfrak Z)\le M|Q| \] mit den Setzungen \( m:=\inf\,\{f(x)\,:\,x\in Q\} \) und \( M:=\sup\,\{f(x)\,:\,x\in Q\}. \)
Übung 2: (Monotonie der Riemannschen Unter- und Obersummen)
Es seien \( \mathfrak Z \) und \( \mathfrak Z^* \) zwei Zerlegungen eines kompakten Quaders \( Q\subset\mathbb R^n \) in Teilquader \( Q_i \) bzw. \( Q_k^*. \) Wir setzen \[ m_i:=\inf\,\{f(x)\,x\in Q_i\}\,,\,\ldots,,\,M_k^*:=\sup\,\{f(x)\,:\,x\in Q_k^*\}\,. \] Wir sagen, die Zerlegung \( \mathfrak Z^* \) ist eine Verfeinerung der Zerlegung \( \mathfrak Z, \) falls für alle \( k\in\mathfrak N^* \) ein \( i=i(k) \) existiert mit \( Q_k^*\subseteq Q_i, \) d.h. wenn \( \mathfrak Z^* \) in \( \mathfrak Z \) enthalten ist.
| (i) | Skizzieren Sie diese Situation an einem selbstgewählten Beispiel. |
| (ii) | Beweisen Sie allgemein: Ist \( \mathfrak Z^* \) eine Verfeinerung von \( \mathfrak Z, \) so gelten |
|
|
Übung 3: (Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen)
Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) seien die Riemannintegrierbaren Funktionen \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) gegeben. Seien ferner \( \alpha,\beta\in\mathbb R. \) Beweisen Sie:
| (i) | Es sind ebenfalls auf \( Q \) Riemannintegrierbar |
|
|
|
| (ii) | Das Riemannintegral ist linear, d.h. es gilt |
|
|
|
| (iii) | Existiert ein \( k\gt 0 \) mit \( |f(x)|\ge k \) für alle \( x\in Q, \) so ist auch Riemannintegrierbar auf \( Q \) |
|
|
Übung 4: (Monotonie des Riemannintegrals)
Es seien \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) zwei stetige Funktionen auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n. \)
| (i) | Zeigen Sie, dass unter der Voraussetzung \( f(x)\ge 0 \) für alle \( x\in Q \) gilt |
|
|
|
| (ii) | Folgern Sie, dass unter der Voraussetzung \( f(x)\le g(x) \) für alle \( x\in Q \) gilt |
|
|
Übung 5: (Der Betrag Riemannintegrierbarer Funktionen)
Es sei \( f\colon Q\to\mathbb R \) eine auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) Riemannintegrierbare Funktion.
| (i) | Beweisen Sie, dass folgende Abschneidefunktionen Riemannintegrierbar sind |
|
|
|
| (ii) | Beweisen Sie, dass der Betrag |
|
|
|
| auf \( Q \) Riemannintegrierbar ist. | |
| (iii) | Beweisen Sie die Dreiecksungleichung |
|
|
|
| (iv) | Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: Ist \( |f(x)| \) Riemannintegrierbar auf \( Q, \) so auch \( f(x). \) |
Übung 6: (Beispiele Jordanscher Nullmengen)
Welche der folgenden Mengen \( M \) ist eine Jordansche Nullmenge? Begr¨nden Sie.
| (i) | \( M=\{1,2,3,4,5\}\subset\mathbb R \) |
| (ii) | \( M=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right\}\subset\mathbb R \) |
| (iii) | \( M=\{1,2,3,4,5,6,\ldots\}\subset\mathbb R \) |
| (iv) | \( M=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\le x\le 1\}\setminus\{x\in\mathbb R\,:\,-1\lt x\lt 1\}\subset\mathbb R \) |
| (v) | \( M=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=1\}\subset\mathbb R^2 \) |
Übung 7: (Jordansche Nullmengen unter Abbildungen)
Beweisen Sie: Seien \( m,n\in\mathbb N \) natürliche Zahlen mit \( 1\le m\le n. \) Es sei ferner \( f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n \) eine Lipschitzstetige Abbildung mit der charakteristischen Eigenschaft \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R^m \] mit einer Lipschitzkonstanten \( L\in[0,\infty). \) Dann ist das Bild \( f(N) \) einer Jordanschen Nullmenge \( N\subset\mathbb R^m \) unter der Abbildung \( f \) eine Jordansche Nullmenge im \( \mathbb R^n. \)
Übung 8: (Vereinigung und Durchschnitt von Jordanbereichen)
Es seien \( J_1,J_2\subset\mathbb R^n \) zwei Jordanbereiche. Beweisen Sie, dass dann auch \[ J_1\cup J_2\quad\mbox{und}\quad J_1\cap J_2 \] Jordanbereiche im \( \mathbb R^n \) sind.
Übung 9: (Beispiele zum Satz von Fubini II)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_T2xe^{x^2+2y}\,d(x,y) \) auf \( T:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,0\le x,y\le 1\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\limits_T\frac{2z}{(x+y)^2}\,d(x,y) \) auf \( T:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,1\le x\le 2,\ 2\le y\le 3,\ 0\le z\le 2\} \) |
Übung 10: (Folgerung aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)
Folgern Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Hausaufgabe 7), dass für alle stetigen und positiven Funktionen \( f\colon Q\to\mathbb R \) auf einem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) die Abschätzung gilt \[ \left(\ \int\limits_Qf(x)\,dx\right)\left(\ \int\limits_Q\frac{1}{f(x)}\,dx\right)\ge|Q|^2\,. \]
Übung 11: (Eine andere Integralungleichung)
Auf dem kompakten Quader \( Q\subset\mathbb R^n \) seien zwei positive und stetige Funktionen \( f,g\colon Q\to\mathbb R \) gegeben, so dass mit zwei Konstanten \( 0\lt m\le M\lt\infty, \) welche \( mM\le 1 \) erfüllen, gilt \[ 0\lt m\le\frac{f(x)}{g(x)}\le M\lt\infty\quad\mbox{für alle}\ x\in Q. \] Beweisen Sie die Integralabschätzung \[ \frac{mM}{m+M}\int\limits_Q\Big\{f(x)^2+g(x)^2\Big\}\,dx \le\left(\ \int\limits_Qf(x)^2\,dx\right)^\frac{1}{2}\left(\ \int\limits_Qg(x)^2\,dx\right)^\frac{1}{2}\,. \]
Übung 12: (Integration über Normalbereiche II)
Berechnen Sie den Wert des Integrals \[ \int\limits_N(2x+y+z)\,d(x,y,z), \] wobei der Normalbereich \( N \) von den Koordinatenebenen und der Ebene \( E\,:\,x+y+z=1 \) begrenzt wird.
Übung 13: (Vertauschen von Limes und Integration II)
Betrachten Sie die Funktionenfolge \[ f_k(x):=\frac{2x}{1+k^3x^3}\,,\quad x\in[1,2]. \]
| (i) | Bestimmen Sie die Grenzfunktion \( \displaystyle f(x):=\lim_{k\to\infty}f_k(x). \) |
| (ii) | Begründen Sie, dass die Konvergenz gleichmäßig ist. |
| (iii) | Ermitteln Sie den Grenzwert |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_1^2f_k(x)\,dx. \]
Übung 14: (Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz)
Wenden Sie auf die Funktionenfolge aus der vorigen Übung 13 den Satz von der majorisierten Konvergenz (in irgendeiner Form) an zur Berechnung des Grenzwertes \[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_1^2f_k(x)\,dx. \] Finden Sie dazu insbesondere eine geeignete Majorante \( F(x). \)
Übung 15: (Anwendung der Transformationsformel II)
Berechnen Sie die Gesamtmasse \[ M=\int\limits_{K_R}\varrho(x,y,z)\,d(x,y,z) \] der Kugel \[ K_R=\big\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2+z^2\le R^2\big\}\subset\mathbb R^3 \] vom Radius \( R, \) dessen Massendichte \( \varrho(x,y,z) \) linear mit dem Abstand vom Mittelpunkt von \( 0 \) auf \( 1 \) zunimmt.
Übung 16: (Inhalt einer Fläche)
Unter Verwendung zweidimensionaler elliptischer Koordinaten \[ x=ar\cos\varphi,\quad y=br\sin\varphi \] berechne man den Inhalt der folgenden, von der Ellipse \[ E:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\} \] umrandeten Fläche.
Übung 17: (Volumen eines Körpers)
Unter Verwendung dreidimensionaler elliptischer Koordinaten \[ x=ar\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y=br\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z=cr\cos\vartheta \] berechne man das Volumen des von dem Ellipsoiden \[ E:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\right\} \] umrandeten Körpers.
Übung 18: (Komplizierte Integrale)
Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) im ersten Quadranten das Innere des Einheitskreises. Durch Transformation auf Polarkoordinaten berechne man die folgenden Integrale:
| (i) | \( \displaystyle\int\limits_\Omega\ln(1+x^2+y^2)\,d(x,y) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\int\limits_\Omega\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}\,\,d(x,y) \) |
Übung 19: (Komplizierte Definitionsbereiche)
Mit den angegebenen Koordinatentransformationen berechne man
| (i) | den Wert des Integrals |
|
|
|
| wobei \( \Omega \) im ersten Quadranten von den folgenden Hyperbeln berandet wird | |
|
|
|
| benutze dabei die Transformation \( u:=x^2-y^2, \) \( v:=2xy. \) | |
| (ii) | den Wert des Integrals |
|
|
|
| wobei \( \Omega \) im ersten Quadranten von den folgenden Hyperbeln berandet wird | |
|
|
|
| benutze dabei die Transformation \( u:=xy, \) \( v:=xy. \) |
Übung 20: (Hyperbolisches Paraboloid)
Die Parametrisierung \[ X(u,v)=(u,v,u^2-v^2),\quad(u,v)\in B:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2\le 1\} \] erzeugt eine hyperbolisch gekrümmte Fläche, das sogenannte hyperbolische Paraboloid.
| (i) | Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an. |
| (ii) | Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche? |
| (iii) | Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie |
|
|
|
| (iv) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \) |
| (v) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (vi) | Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum. |
Übung 21: (Katenoid im \( \mathbb R^3 \))
Betrachten Sie die folgende Parametrisierung des Katenoids \[ X(u,v)=\left(2\cos u\cosh\frac{v}{2},2\sin u\cosh\frac{v}{2},v\right),\quad u\in[-\pi,\pi],\ v\in[-3,3]. \]
| (i) | Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an. |
| (ii) | Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche? |
| (iii) | Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie |
|
|
|
| (iv) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \) |
| (v) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (vi) | Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum. |
Übung 22: (Torus im \( \mathbb R^3 \))
Betrachten Sie die folgende Parametrisierung eines Torus \[ X(u,v)=\left(\cos v+\frac{1}{2}\,\cos u\cos v,\sin v+\frac{1}{2}\,\cos u\sin v,\frac{1}{2}\,\sin u\right),\quad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,2\pi]. \]
| (i) | Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an. |
| (ii) | Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche? |
| (iii) | Berechnen Sie den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie |
|
|
|
| (iv) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \) |
| (v) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (vi) | Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum. |
Übung 23: (Eine „Bonbonfläche“ im \( \mathbb R^3 \))
Betrachten Sie die folgende Parametrisierung einer „Bonbonfläche“ \[ X(u,v)=(u,\cos u\cos v,\cos u\sin v),\quad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,2\pi]. \]
| (i) | Fertigen Sie eine Skizze der Fläche an. |
| (ii) | Stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X(u,v) \) auf. Wie lauten die Tangentialvektoren an die Fläche? |
| (iii) | Berechnen Sie, wo möglich, den Einheitsnormalenvektor \( N \) an die Fläche. Verfizieren Sie |
|
|
|
| (iv) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \) |
| (v) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (vi) | Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum. |
Übung 24: (Holomorphe Graphen im \( \mathbb R^4 \))
Betrachten Sie die folgende Parametrisierung \[ X(u,v)=(u,v,\varphi(u,v),\psi(u,v)),\quad (u,v)\in\Omega\subset\mathbb R^2\,, \] worin \( \varphi,\psi\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) Lösungen der folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind \[ \varphi_u(u,v)=\psi_v(u,v),\quad \varphi_v(u,v)=-\psi_u(u,v) \quad\mbox{in}\ \Omega. \]
| (i) | Berechen Sie die \( X_u \) und \( X_v, \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X\in\mathbb R^{4\times 2} \) auf. |
| (ii) | Verifizieren Sie, dass |
\[ N_1=\frac{1}{\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}}\,(-\varphi_u,\varphi_v,1,0),\quad N_2=\frac{1}{\sqrt{1+|\nabla\varphi|^2}}\,(\varphi_v,-\varphi_u,0,1) \]
| zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren an die Fläche sind. Verifizieren Sie | |
|
|
|
| (iii) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2} \) von \( X(u,v). \) |
| (iv) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (v) | Geben Sie ein Beispiel solcher Funktionen \( \varphi \) und \( \psi \) an. |
Übung 25: (Komplexifizierung der Neilschen Parabel)
Betrachten Sie die folgende Parametrisierung \[ X(u,v)=(\mbox{Re}\,w^2,\mbox{Im}\,w^2,\mbox{Re}\,w^3,\mbox{Re}\,w^3),\quad w=u+iv, \] wobei \( (u,v)\in B:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2\le 1\}. \)
| (i) | Berechen Sie die \( X_u \) und \( X_v, \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial X\in\mathbb R^{4\times 2} \) auf. |
| (ii) | Berechnen Sie die erste Fundamentalform \( (g_{ij})_{i,j=1,2}\in\mathbb R^{2\times 2} \) von \( X(u,v). \) |
| (iii) | In welchen Punkten ist die Abbildung im geometrischen Sinn regulär bzw. nicht regulär? |
| (iv) | Berechnen Sie den Flächeninhalt \( {\mathcal A}(X) \) der von \( X(u,v) \) erzeugten Fläche im Raum. |
Übung 26: (Übung zum Dachprodukt)
| (i) | \( \omega_1=x\,dx+y\,dy,\ \omega_2=y\,dx-x\,dy \) im \( \mathbb R^2 \) |
| (ii) | \( \omega_1=xy\,dx+e^y\,dy,\ \omega_2=2x\,dy\wedge dz+y^2\,dx\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (iii) | \( \omega_1=x^2yz\,dx,\ \omega_2=y\,dx\wedge dy-dx\wedge dz+\sin(x+y)\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (iv) | \( \omega_1=xy\,dx\wedge dy+z\,dx\wedge dz,\ \omega_2=dx\wedge dz+2\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
Übung 27: (Dachprodukt von \( 2 \)-Formen im \( \mathbb R^4 \))
Im \( \mathbb R^4 \) mit den Koordinaten \( (x_1,x_2,y_1,y_2) \) betrachten wir die \( 2 \)-Form \[ \omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2\,. \] Berechnen Sie \[ \omega\wedge\omega=\ldots dx_1\wedge dx_2\wedge dy_1\wedge dy_2\,. \]
Übung 28: (Dachprodukt von \( 2 \)-Formen im \( \mathbb R^{2n} \))
Im \( \mathbb R^{2n} \) mit den Koordinaten \( (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n) \) betrachten wir die \( 2 \)-Form \[ \omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\ldots+dx_n\wedge dy_n\,. \] Beweisen Sie, dass für das \( n \)-fache Dachprodukt gilt \[ \omega\wedge\ldots\wedge\omega =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!\,(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)\wedge(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_n). \]
Übung 29: (Assoziativgesetz für das Dachprodukt)
Es seien \( \omega_1, \) \( \omega_2 \) und \( \omega_3 \) drei beliebige Differentialformen. Beweisen Sie das Assoziativgesetz \[ (\omega_1\wedge\omega_2)\wedge\omega_3=\omega_1\wedge(\omega_2\wedge\omega_3). \]
Übung 30: (Distributivgesetz für das Dachprodukt)
Seien \( \omega_1,\omega_2 \) zwei \( \ell \)-Formen und \( \omega_3 \) eine \( m \)-Form. Beweisen Sie das Distributivgesetz \[ (\omega_1+\omega_2)\wedge\omega_3=\omega_1\wedge\omega_3+\omega_2\wedge\omega_3\,. \]
Übung 31: (Vertauschungsregel für das Dachprodukt)
Beweisen Sie: Für eine \( \ell \)-Form \( \omega_1 \) und eine \( m \)-Form \( \omega_2 \) gilt die Vertauschungsregel \[ \omega_1\wedge\omega_2=(-1)^{\ell m}\omega_2\wedge\omega_2\,. \]
Übung 32: (Äußere Ableitung von Differentialformen)
| (i) | \( \omega_1=x^2\,dx+y\,dy \) im \( \mathbb R^2 \) |
| (ii) | \( \omega_2=x\,dx+y\,dy+z\,dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (iii) | \( \omega_3=e^x\cos y\,dx\wedge dy+\sin(xyz)\,dy\wedge dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (iv) | \( \omega_4=e^{3x}y\,dx+xy\,dy+e^{2x}z\,dz \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (v) | \( \omega_5=2xz\,dy\wedge dz+dz\wedge dx-(z^2+e^x)\,dx\wedge dy \) im \( \mathbb R^3 \) |
| (vi) | \( \omega_6=(x+\sin z)\,dx\wedge dy+y\,dx\wedge dz+xyz\,dy\wedge dz\) im \( \mathbb R^3 \) |
Übung 33: (Zweifache äußere Ableitung für \( 1 \)-Formen)
Mit Funktionen \( a,b,c\in C^2(\mathbb R^3,\mathbb R) \) betrachten wir die folgende \( 1 \)-Form im \( \mathbb R^3 \) \[ \omega=a\,dx+b\,dy+c\,dz. \] Beweisen Sie \[ d^2\omega=d(d\omega)=0. \]
Übung 34: (Zweifache äußere Ableitung allgemein)
Mit Funktionen \( a_{i_1\ldots i_m}\in C^2(\mathbb R^n,\mathbb R) \) sei die folgende \( m \)-Form gegeben \[ \omega=\sum_{1\le i_1\lt\ldots\lt i_m\le n}a_{i_1\ldots i_m}\,dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_m}\,. \] Beweisen Sie \[ d^2\omega=d(d\omega)=0. \]
Übung 35: (Ein Kurvenintegral entlang einer Spiralkurve)
Mit reellen Zahlen \( -\infty\lt a\lt b\lt +\infty \) sei im \( \mathbb R^2 \) die folgende Kurvenparametrisierung gegeben \[ X(t)=e^t(\cos t,\sin t),\quad t\in[a,b]. \] Berechnen Sie das Kurvenintegral \[ \int\limits_X\omega\quad\mbox{mit}\quad\omega:=x\,dy-y\,dx. \]
Übung 36: (Berechnung von Kurvenintegralen)
Im \( \mathbb R^3 \) sei eine Kurve vorgelegt vermittels der Parametrisierung \[ X(t)=\left(e^{t\sin t},t^2-2\pi t,\cos\frac{t}{2}\right),\quad t\in[0,2\pi]. \]
| (i) | Verifizieren Sie, dass diese Abbildung im geometrischen Sinn regulär ist. |
Berechnen Sie nun die Integrale
| (ii) | \( \displaystyle\int\limits_X(x\,dx+y\,dy+z\,dz) \) |
| (iii) | \( \displaystyle\int\limits_Xz\,dy \) |
Übung 37: (Möbiusband)
Betrachten Sie die Parametrisierung \[ X(u,v)=\left(\cos u+v\cos\frac{u}{2}\cos u,\sin u+v\cos\frac{u}{2}\sin u,v\sin\frac{u}{2}\right) \] für \( (u,v)\in[0,2\pi]\times[-0.5,0.5]. \)
| (i) | Visualisieren Sie das Bild dieser Abbildung. |
| (ii) | Verifizieren und interpretieren Sie die Identität |
\[ X(u,v)=X(u+2\pi,-v)\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in[0,2\pi]\times[-0.5,0.5]. \]
| (iii) | Berechnen Sie \( X_u\times X_v. \) |
| (iv) | Verifizieren und interpretieren Sie damit die Identität |
\[ N(u,v)=-N(u+2\pi,-v)\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in[0,2\pi]\times[-0.5,0.5] \]
| für den Einheitsnormalenvektor \( N(u,v) \) der Fläche (der nicht explizit berechnet werden muss). |
Übung 38: (Linearität der klassischen Differentialoperatoren)
Es seien \( f,g\colon\mathbb R^3\to\mathbb R \) zwei stetig differenzierbare Funktionen, \( a,b\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 \) zwei stetig differenzierbare Vektorfelder und \( \lambda,\mu\in\mathbb R. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( \mbox{grad}\,(\lambda f+\mu g)=\lambda\,\mbox{grad}\,f+\mu\,\mbox{grad}\,g \) |
| (ii) | \( \mbox{div}\,(\lambda a+\mu b)=\lambda\,\mbox{div}\,a+\mu\,\mbox{div}\,b \) |
| (iii) | \( \mbox{rot}\,(\lambda a+\mu b)=\lambda\,\mbox{rot}\,a+\mu\,\mbox{rot}\,b \) |
Übung 39: (Berechnung der Divergenz)
Berechnen Sie die Divergenz der folgenden Vektorfelder \( a_i\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3, \) und werten Sie die Divergenz jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus.
| (i) | \( a_1(x,y,z)=(xy,yz,xz) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,0,1) \) |
| (ii) | \( a_2(x,y,z)=(x+y^2,\sin xy,e^z) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(0,1,2) \) |
| (iii) | \( a_3(x,y,z)=(\sinh x,\cosh(x+y),\tanh z) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1) \) |
Übung 40: (Berechnung des Gradienten)
Übung 41: (Berechnung der Rotation)
Berechnen Sie die Rotation der folgenden Vektorfelder \( a_i\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3, \) und werten Sie die Rotation jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus.
| (i) | \( a_1(x,y,z)=(2xy^2-z^2,xyz,xy+yz) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1) \) |
| (ii) | \( a_2(x,y,z)=(xy,yz,x^2+y^2+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(0,1,2) \) |
| (iii) | \( a_3(x,y,z)=(\sin x+\sin y,e^{xyz},z\sinh x\cosh y) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(-1,3,2) \) |
Übung 42: (Wiederholte Anwendung der Differentialoperatoren)
Beweisen Sie: Seien eine Funktion \( \varphi\in C^2(\mathbb R^3,\mathbb R) \) und ein Vektorfeld \( a=(a_1,a_2,a_3)\in C^2(\mathbb R^3,\mathbb R^3) \) gegeben. Dann gelten
| (i) | \( \mbox{div}\,\mbox{grad}\,\varphi(x)=\Delta\varphi(x) \) |
| (ii) | \( \mbox{rot}\,\mbox{grad}\,\varphi(x)=0 \) |
| (iii) | \( \mbox{div}\,\mbox{rot}\,a(x)=0 \) |
| (iv) | \( \mbox{rot}\,\mbox{rot}\,a(x)=\mbox{grad}\,\mbox{div}\,a(x)-\big(\Delta a_1(x),\Delta a_2(x),\Delta a_3(x)\big) \) |
mit dem Laplaceoperator \( \Delta. \)
Übung 43: (Harmonische Funktionen II)
Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( f_i\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \) in der angegebenen Menge harmonisch sind, d.h. der folgenden Laplacegleichung genügen \[ \begin{array}{l} \Delta f_i(x,y)=0\quad\mbox{für alle}\ (x,y)\in\mathbb R^2\,,\quad i=1,2,3, \\ \Delta f_4(x,y)=0\quad\mbox{für alle}\ (x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,. \end{array} \]
| (i) | \( \displaystyle f_1(x,y)=x^3-3xy^2 \) in \( \mathbb R^2 \) |
| (ii) | \( \displaystyle f_2(x,y)=e^x\sin y+x^2-y^2 \) in \( \mathbb R^2 \) |
| (iii) | \( \displaystyle f_3(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos(2xy) \) in \( \mathbb R^2 \) |
| (iv) | \( \displaystyle f_4(x,y)=\ln(x^2+y^2) \) in \( \mathbb R^2, \) wobei \( x^2+y^2>0 \) |
Übung 44: (Harmonische Funktionen III)
Es sei \( n\in\{3,4,5,\ldots\} \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass die Funktion \[ f_n(x_1,\ldots,x_n)=|x|^{2-n}\,,\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\setminus\{0\}, \] für alle angegebenen \( n=3,4,\ldots \) harmonisch sind.
Übung 45: (Produktregel für den Laplaceoperator)
Es seien \( f,g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R \) zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie \[ \Delta(fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+2\,\mbox{grad}\,f\cdot\mbox{grad}\,g. \]
Übung 46: (Lösung der Wellengleichung)
Es seien \( c\in(0,\infty), \) \( k\in\mathbb R^n, \) \( \omega:=|k|c \) und \( \varphi\in C^2(\mathbb R,\mathbb R) \) gegeben. Zeigen Sie, dass \[ f(x,t)=\varphi(k\cdot x-\omega t),\quad x\in\mathbb R^n\,,\ t\in\mathbb R, \] die folgende Wellengleichung löst \[ \Delta f(x,t)-\frac{1}{c^2}\,\frac{\partial^2}{\partial t^2}\,f(x,t)=0\quad\mbox{in}\ \mathbb R^n\times\mathbb R. \]
Übung 47: (Laplaceoperator in Koordinaten)
Der aus der Vorlesung bekannte Laplace-Beltrami-Operator für ein \( f\in C^2(T) \) auf einem Parametergebiet \( T\subset\mathbb R^m, \) \[ \underline\Delta f=\frac{1}{W}\,\sum_{i,j=1}^m\frac{\partial}{\partial t_i}\left(Wg^{ij}\frac{\partial f}{\partial t_j}\right), \quad W=\sqrt{\mbox{det}\,(g_{ij})_{i,j=1,\ldots,m}}\,, \] ist zu bestimmen für Kugelkoordinaten im \( \mathbb R^4, \) also \[ \begin{array}{l} x_1\,=\,r\cos\varphi\sin\vartheta\sin\psi,\quad x_2\,=\,r\sin\varphi\sin\vartheta\sin\psi,\quad x_3\,=\,r\cos\vartheta\sin\psi, \\[0.6ex] x_4\,=\,r\cos\psi \end{array} \] mit \( 0\lt r\lt\infty, \) \( 0\le\varphi\lt 2\pi, \) \( 0\le\vartheta\lt \pi, \) \( 0\le\psi\lt\pi. \)
Übung 48: (Beltramioperator)
Beweisen Sie die Forminvarianz des 1. Beltramioperators \( \overline\nabla(f,g) \) gegenüber regulären Umparametrisierungen.