Hausaufgabenblatt 2
Aufgabe HA 5
Wählen Sie Mengen \( A\subset\mathbb R \) und \( B\subset\mathbb R, \) so dass die Abbildung \[ f\colon A\longrightarrow B\quad\mbox{vermöge}\quad f(x):=x^2 \]
| (i) | surjektiv, aber nicht injektiv, |
| (ii) | injektiv, aber nicht surjektiv, |
| (iii) | bijektiv ist. |
Fertigen Sie jeweils eine Skizze an, und begründen Sie sehr kurz.
Aufgabe HA 6
Es seien \( f\colon A\to B \) und \( g\colon B\to C \) zwei Abbildungen zwischen den Mengen \( A \) und \( B \) bzw. \( B \) und \( C. \) Beweisen Sie:
| (i) | Ist \( g\circ f \) bijektiv, so sind \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv. |
| (ii) | Sind umgekehrt \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv, so ist \( g\circ f \) nicht notwendig bijektiv. |
Hinweis zu (ii): Betrachte \( f(x)=x \) und \( g(x)=x^2 \) jeweils auf \( [-1,1]. \)
Aufgabe HA 7
| (i) | Beweisen Sie |
\[ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
| (ii) | Schließen Sie daraus auf |
\[ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe HA 8
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion:
| (i) | Für alle \( n\in\mathbb N \) ist \( n^3+5n+3 \) ohne Rest durch \( 3 \) teilbar. |
| (ii) | Für alle \( n\in\mathbb N \) ist \( 5^n+7 \) ohne Rest durch \( 4 \) teilbar. |