Hausaufgabenblatt 7
Aufgabe HA 27
Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z_1,z_2\in\mathbb C \) gelten:
| (i) | \( |z|\ge 0 \) und \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \) |
| (ii) | \( \overline{\overline z}=z \) |
| (iii) | \( |z|=|\overline z| \) |
| (iv) | \( z\cdot\overline z=|z|^2 \) |
| (v) | \( \overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2 \) |
| (vi) | \( \overline{z_1\cdot z_2}=\overline z_1\cdot \overline z_2 \) |
| (vii) | \( |z_1\cdot z_2|=|z_1||z_2| \) |
Aufgabe HA 28
Es seien \( w=u+iv \) und \( z=x+iy \) zwei komplexe Zahlen. Beweisen Sie:
| (i) | \( |w+z|\le|w|+|z| \) |
| (ii) | \( |w-z|^2+|w+z|^2=2(|w|^2+|z|^2) \) |
Aufgabe HA 29
Seien \( w,z\in S^1:=\{z\in\mathbb C\,:\,|z|=1\}. \) Beweisen Sie, dass dann auch \[ \overline z,\quad \frac{1}{z}\,,\quad wz,\quad \frac{w}{z} \] auf \( S^1 \) liegen, und dass insbesondere gilt \( \overline z=\frac{1}{z}. \)
Aufgabe HA 30
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(i)
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Beweisen Sie: Die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k \) ist konvergent genau dann, wenn zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) existiert mit |
\[ \left|\,\sum_{k=m+1}^na_k\right|<\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n>m\ge N(\varepsilon). \]
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(ii)
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Folgern Sie: Falls die komplexwertige Reihe \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k \) mit \( a_k\in\mathbb C \) konvergiert, so bildet \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) notwendig eine Nullfolge. |
| (iii) | Gilt in (ii) auch die Umkehrung? Geben Sie eventuell ein Gegenbeispiel. |
Aufgabe HA 31
Beweisen Sie: Die Folgen \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \) genügen \[ 0\le b_n\le a_n\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Divergiert nun \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty b_k, \) so auch \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k. \)