Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 32
Betrachten Sie die beiden Reihen \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k\quad\mbox{mit}\ \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{2,2,2^2,2^3,2^4,\ldots\} \\[2ex] \displaystyle \sum_{k=0}^\infty b_k\quad\mbox{mit}\ \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{-1,1,1,1,1,\ldots\} \end{array} \] Beide Reihen konvergieren nicht. Beweisen Sie, dass hingegen ihr Cauchyprodukt konvergiert, und ermitteln Sie dessen Wert.
Aufgabe HA 33
Der Konvergenzradius \( R \) einer komplexwertigen Reihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \] kann, analog wie im Satz von Cauchy-Hadamard in der Vorlesung diskutiert, auch aus dem Quotientenkriterium gewonnen werden.
| (i) | Formulieren und beweisen Sie eine sich aus diesem Ansatz ergebende hinreichende Konvergenzaussage. (Es genügt also der erste Teil, die Konvergenzaussage des Quotientenkriteriums.) |
| (ii) | Beweisen Sie, dass folgende Potenzreihe für alle \( z\in\mathbb C \) konvergiert |
\[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}\,z^k\,. \]
Aufgabe HA 34
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty k^mm^kz^k\quad\mbox{für}\ m\in\mathbb N \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{k+1}{k}\right)k^2z^k \) |
Benutzen Sie eventuell den Satz von d'Alembert.
Aufgabe HA 35
Beweisen Sie, dass die Potenzreihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty k^kz^k \] mit der Setzung \( 0^0:=1 \) für kein \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) konvergiert.
Aufgabe HA 36
Beweisen Sie, dass folgende Reihe absolut konvergent ist \[ \sum_{m,n=2}^\infty\frac{1}{m^n}\,. \]
Aufgabe HA 32
Betrachten Sie die beiden Reihen \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k\quad\mbox{mit}\ \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{2,2,2^2,2^3,2^4,\ldots\} \\[2ex] \displaystyle \sum_{k=0}^\infty b_k\quad\mbox{mit}\ \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{-1,1,1,1,1,\ldots\} \end{array} \] Beide Reihen konvergieren nicht. Beweisen Sie, dass hingegen ihr Cauchyprodukt konvergiert, und ermitteln Sie dessen Wert.
Aufgabe HA 33
Der Konvergenzradius \( R \) einer komplexwertigen Reihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \] kann, analog wie im Satz von Cauchy-Hadamard in der Vorlesung diskutiert, auch aus dem Quotientenkriterium gewonnen werden.
| (i) | Formulieren und beweisen Sie eine sich aus diesem Ansatz ergebende hinreichende Konvergenzaussage. (Es genügt also der erste Teil, die Konvergenzaussage des Quotientenkriteriums.) |
| (ii) | Beweisen Sie, dass folgende Potenzreihe für alle \( z\in\mathbb C \) konvergiert |
\[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}\,z^k\,. \]
Aufgabe HA 34
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty k^mm^kz^k\quad\mbox{für}\ m\in\mathbb N \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{k+1}{k}\right)k^2z^k \) |
Benutzen Sie eventuell den Satz von d'Alembert.
Aufgabe HA 35
Beweisen Sie, dass die Potenzreihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty k^kz^k \] mit der Setzung \( 0^0:=1 \) für kein \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) konvergiert.
Aufgabe HA 36
Beweisen Sie, dass folgende Reihe absolut konvergent ist \[ \sum_{m,n=2}^\infty\frac{1}{m^n}\,. \]
Aufgabe HA 37
Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialreihe, dass kein \( z\in\mathbb R \) existiert mit \[ \exp z=0. \] Hinweis: Die Annahme \( \exp z_0=0 \) führt auf \( \exp z=0 \) für alle \( z\in\mathbb C \) im Widerspruch \( \exp 0=1. \) Warum gilt eigentlich \( \exp 0=1? \)
Aufgabe HA 37
Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialreihe, dass kein \( z\in\mathbb R \) existiert mit \[ \exp z=0. \] Hinweis: Die Annahme \( \exp z_0=0 \) führt auf \( \exp z=0 \) für alle \( z\in\mathbb C \) im Widerspruch \( \exp 0=1. \) Warum gilt eigentlich \( \exp 0=1? \)