Hausaufgabenblatt 9
Aufgabe HA 38
Es seien \( \varepsilon\gt 0 \) und \( x_0\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass der offene Ball \[ B_\varepsilon(x_0):=\{x\in\mathbb R\,:\,|x-x_0|\lt\varepsilon\} \] offen ist im Sinne der Definition aus der Vorlesung.
Aufgabe HA 39
Es sei \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) Lipschitzstetig, d.h. mit einer reellen Zahl \( L\in[0,\infty) \) gilt \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb R. \]
| (i) | Geben Sie ein Beispiel einer Lipschitzstetigen Funktion. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass \( f \) stetig und sogar gleichmäßig stetig in \( \mathbb R \) ist. |
| (iii) | Sind Summen und Produkte Lipschitzstetiger Funktionen \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) ebenfalls Lipschitzstetig? Begründen Sie, oder geben Sie ein Gegenbeispiel. |
Aufgabe HA 40
Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{x^4-5x^2+4}{x^2-x-2}\,, & \mbox{falls}\ x\in\mathbb R\setminus\{-1,2\} \\[2ex] \displaystyle \alpha, & \mbox{falls}\ x=-1 \\[2ex] \displaystyle \beta, & \mbox{falls}\ x=2 \end{array} \right.. \] Bestimmen Sie \( \alpha\in\mathbb R \) und \( \beta\in\mathbb R, \) so dass \( f \) in \( \mathbb R \) stetig ist. Begründen Sie.
Aufgabe HA 41
Untersuchen Sie die Funktion \[ f(x):=\frac{1}{x}\,,\quad x\in(0,1], \] auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit in \( (0,1] \) nach Definition.
Aufgabe HA 42
Zeigen Sie, dass es keine Funktionen \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gibt, die wenigstens eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllen:
| (i) | \( f(x)+g(y)=x\cdot y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (ii) | \( f(x)\cdot g(y)=x+y \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |