Präsenzblatt 3
Aufgabe PA 9
Es seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere Mengen und \( f\colon A\to B \) sowie \( g\colon B\to A \) zwei Abbildungen mit \[ g\circ f(a):=g(f(a))=a\quad\mbox{für alle}\ a\in A. \] Beweisen Sie, dass dann \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv sind.
Aufgabe PA 10
Wir betrachten die aus der Vorlesung bekannte Relation \( \sim_{\mathbb Z}. \)
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb Z} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) darstellt. |
| (ii) | Beschreiben Sie mit eigenen Worten die Äquivalenzklassen. |
Aufgabe PA 11
Im Fall \( m,n\not=0 \) setzen wir \[ [(m,n)]_{\mathbb Q}^{-1}:=[(n,m)]_{\mathbb Q} \] für das multiplikative Inverse einer rationalen Zahl \( [(m,n)]_{\mathbb Q}\in\mathbb Q. \)
| (i) | Zeigen Sie |
\[ [(m,n)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}^{-1}=1 \]
| unter Verwendung der Definition der Multiplikation in \( \mathbb Q. \) | |
| (ii) | Zeigen Sie, dass das neutrale Element \( 1\in\mathbb Q \) der Multiplikation eindeutig ist. Sie dürfen Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation ohne Beweis voraussetzen. |
Aufgabe PA 12
Beweisen Sie vermittels eines geeigneten Schemas: Die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist wieder abzählbar unendlich.