Präsenzblatt 4
Aufgabe PA 13
Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie:
| (i) | Erste Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung |
\[ 2xy\le x^2+y^2\quad\mbox{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]
| (ii) | Für alle \( x,y\in\mathbb K \) gilt weiter |
\[ xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\,. \]
Aufgabe PA 14
Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie:
| (i) | \( |x| \ge 0 \) für alle \( x\in\mathbb K \) |
| (ii) | \( |x|\le a \) genau dann, wenn \( -a\le x\le a, \) wobei \( a\ge 0 \) |
Aufgabe PA 15
Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl \( x\in\mathbb Q \) gibt mit der Eigenschaft \[ x^2=3. \]
Aufgabe PA 16
Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl \( x\in\mathbb Q \) gibt mit der Eigenschaft \[ x^2=6. \]
Aufgabe PA 17
Bestimmen Sie grafisch den Grenzwert \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\,. \] Finden Sie dazu eine geeignete Unterteilung des Einheitsintervalls.