Präsenzblatt 6

---

 

Aufgabe PA 22

 

Berechnen Sie:

(i)	\( k! \) für \( k=0,1,2,3,4 \)

(ii)	\( \displaystyle\binom{n}{k} \) für \( 0\le k\le n\le 4 \)

 

Aufgabe PA 23

 

Beweisen Sie die folgenden Identitäten:

 

(i)	\( \displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\cdot\binom{n}{k} \)

 

(ii)	\( \displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \)

 

Aufgabe PA 24

 

Schreiben Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus \[ (x+y)^m\quad\mbox{für}\ m=0,1,2,3,4. \]

 

Aufgabe PA 25

 

Beweisen Sie unter Verwendung der binomischen Formel:

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \) für alle \( n\ge 0 \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0 \) für alle \( n\ge 1 \)

 

Aufgabe PA 26

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

(i)	\( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n^k}\quad(k\in\mathbb N) \)
(ii)	\( x_n:=\displaystyle\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2} \)
(iii)	\( x_n:=\displaystyle\frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1} \)

 

Aufgabe PA 27

 

Bestimmen Sie alle reellen Häufungsstellen der folgenden Zahlenfolgen.

(i)	\( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle x_n:=(-1)^n \)
(ii)	\( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n+1} \)

Geben Sie dazu explizit geeignete konvergente Teilfolgen an.