Präsenzblatt 9

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Aufgabe PA 41

 

Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte und sämtliche isolierte Punkte der folgenden Mengen \( M\subseteq\mathbb R: \)

 

(i)	\( M=\mathbb N\cap[-4,4] \)
(ii)	\( M=[0,1]\cap\mathbb Q \)
(iii)	\( M=\mathbb R \)

Aufgabe PA 42

 

Sind die folgenden Mengen \( \Omega\subset\mathbb R \) offen, abgeschlossen oder kompakt - oder weder noch?

 

(i)	\( \Omega=[0,1] \)
(ii)	\( \Omega=(0,1] \)
(iii)	\( \Omega=(0,1) \)

 

Aufgabe PA 43

 

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( f\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( D\subseteq\mathbb R \) sind.

 

(i)	\( f(x)=2x+5 \) mit \( D=\mathbb R \)
(ii)	\( f(x)=x^2 \) mit \( D=\mathbb R \)
(iii)	\( f(x)=\sqrt{x} \) mit \( D=[0,\infty) \)

 

Verwenden Sie dabei die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit aus der Vorlesung.

 

Aufgabe PA 44

 

Untersuchen Sie die Funktion \[ f(x):=x^2\,,\quad x\in[-1,1], \] auf gleichmäßige Stetigkeit in \( [-1,1]\subset\mathbb R. \)

 

Aufgabe PA 45

 

Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D \) stetig. Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) stetig sind:

 

(i)	\( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \)
(ii)	\( (fg)(x):=f(x)g(x) \)