Präsenzblatt 10
Aufgabe PA 46
Es seien \( D\subseteq\mathbb R \) und \( f\colon D\to\mathbb R \) eine im Punkt \( x_0\in D \) stetige Funktion. Ferner sei \( f(x_0)\gt 0. \) Zeigen Sie, dass dann ein \( \epsilon\gt 0 \) und ein \( \delta\gt 0 \) existieren, so dass \[ f(x)\ge\varepsilon\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in D\ \mbox{mit}\ |x-x_0|\lt\delta. \]
Aufgabe PA 47
Berechnen Sie die ersten Ableitungen folgender Funktionen im Punkt \( x_0\in\mathbb R \) durch Auswerten der Differenzenquotienten.
| (i) | \( f(x)=x \) |
| (ii) | \( f(x)=x^2 \) |
| (iii) | \( f(x)=x^n \) mit \( n\in\mathbb N \) |
| (iv) | \( f(x)=\sqrt{x} \) mit \( x\gt 0 \) |
Aufgabe PA 48
Seien \( \lambda,\mu\in\mathbb R \) und \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D\subseteq\mathbb R \) differenzierbar. Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) differenzierbar sind:
| (i) | Die Linearkombination \( h(x):=\lambda f(x)+\mu g(x) \) mit der Ableitung |
\[ h'(x_0)=\lambda f'(x_0)+\mu g'(x_0).\]
| (ii) | Das Produkt \( h(x):=f(x)g(x) \) mit der Ableitung |
\[ h'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0). \]
Aufgabe PA 49
Differenzieren Sie die folgenden Funktionen unter Verwendung der bekannten Rechenregeln, wie Summenregel, Produktregel, Quotientenregel:
| (i) | \( f(x)=x^5-5x^4+6x-2 \) |
| (ii) | \( f(x)=x^3\sin x+4x\cos x \) |
| (iii) | \( \displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x-4}{x^2-1} \) |
| (iv) | \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-\sin(x^2+1)}{2+\cos x} \) |
| (v) | \( \displaystyle f(x)=\tan x:=\frac{\sin x}{\cos x} \) |
| (vi) | \( \displaystyle f(x)=\cot x:=\frac{\cos x}{\sin x} \) |
| (vii) | \( f(x)=(2x^3-4\sin x)^7(x+e^x) \) |
| (viii) | \( f(x)=(3x^2+1)\sin^2(x^3+3x^2-8) \) |
| (ix) | \( \displaystyle f(x)=\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \) |
| (x) | \( \displaystyle f(x)=\ln\left(\frac{1}{\cos x}\right) \) |