Präsenzblatt 13

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Aufgabe PA 59

 

Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle \( z_1,z_2\in\mathbb C \) richtig sind:

 

(i)	\( \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\sin z_2\cos z_1 \)
(ii)	\( \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2 \)

Aufgabe PA 60

 

Verifizieren Sie zunächst unter Verwendung der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion \[ \cos^2z+\sin^2z=1\quad\mbox{für alle}\ z\in\mathbb C. \] Verifizieren Sie damit und unter Verwendung voriger Aufgabe, dass für alle \( z\in\mathbb C \) richtig sind:

 

(i)	\( \displaystyle\sin 2z=2\sin z\cos z \)
(ii)	\( \displaystyle\cos 2z=\cos^2z-\sin^2z \)
(iii)	\( \displaystyle 2\sin^2z=1-\cos 2z \)
(iv)	\( \displaystyle 2\cos^2z=1+\cos 2z \)

 

 

Aufgabe PA 61

 

(i)	Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für die Argumente

\[ x=0\quad\mbox{und}\quad x=\frac{\pi}{2}\,. \]

(ii)	Beweisen Sie die Phasenverschiebungsgleichungen

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad x\in\mathbb R. \]

(iii)

Zeigen Sie, dass \( \sin x \) streng monoton wachsend für \( -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2} \) und \( \cos x \) streng monoton fallend für \( 0\le x\le\pi \) sind.

 

Aufgabe PA 62

 

Verifizieren Sie unter Verwendung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass für alle \( z\in\mathbb C \) richtig sind:

 

(i)	\( \displaystyle\cos^2\frac{z}{2}=\frac{1+\cos z}{2} \)
(ii)	\( \displaystyle\sin^2\frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{2} \)

 

Folgern Sie, dass im Reellen gelten

 

(iii)	\( \displaystyle\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \) für alle \( x\in[-\pi,\pi] \)
(iv)	\( \displaystyle\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}} \) für alle \( x\in[0,2\pi]. \)

 

Aufgabe PA 63

 

Ermitteln Sie die exakten Werte der reellwertigen Kosinus- und Sinusfunktion für folgende Argumente.

 

(i)	\( \displaystyle x=\frac{\pi}{4} \)
(ii)	\( \displaystyle x=\frac{\pi}{8} \)
(iii)	\( \displaystyle x=\frac{\pi}{6} \)
(iv)	\( \displaystyle x=\frac{\pi}{12} \)

 

Aufgabe PA 64

 

Ermitteln Sie Betrag \( r\ge 0 \) und Argument \( \varphi\in[0,2\pi) \) folgender komplexer Zahlen.

 

(i)	\( z=(1,0) \)
(ii)	\( z=(0,1) \)
(iii)	\( z=(-1,0) \)
(iv)	\( \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
(v)	\( \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\,\frac{i}{2}\right) \)

 

Aufgabe PA 65

 

Es seien \( \varphi\in[0,2\pi) \) das Argument der komplexen Zahl \( z=x+iy \) und \( |z|>0 \) ihr Betrag. Ferner bedeute \( \psi \) das Argument von \( z^2. \) Verifizieren Sie \[ \sin\psi=2\sin\varphi\cos\varphi,\quad \cos\psi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi. \] Vergleichen Sie diese Identitäten mit den Winkelverdopplungsformeln aus PA 59.

 

Aufgabe PA 66

 

Es sei \( z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \) eine komplexe Zahl in Polardarstellung. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi),\quad n=1,2,\ldots \]

 

Aufgabe PA 67

 

Berechnen Sie mit Hilfe der Formel von de Moivre:

 

(i)	\( z=(1+i)^{100} \)
(ii)	\( \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{90} \)
(iii)	\( \displaystyle z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{84} \)

 

Aufgabe PA 68

 

Es sei \( z=x+iy \) mit \( x,y\in\mathbb R. \) Wir definieren die hyperbolischen Funktionen \[ \cosh z:=\frac{1}{2}\,(e^z+e^{-z}),\quad \sinh z:=\frac{1}{2}\,(e^z-e^{-z}). \]

(i)	Zeigen Sie, dass für alle \( z\in\mathbb C \) gelten

\[ \cos(iz)=\cosh z,\quad \sin(iz)=i\sinh z. \]

(ii)	Folgern Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb R \) gelten

\begin{align} \displaystyle\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y, \\[0.6ex] \displaystyle\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \end{align}

(iii)

Sind der komplexwertige Sinus und der komplexwertige Kosinus im Komplexen beschränkt? Begründen Sie.

 

Aufgabe PA 69

 

Die Umkehrfunktion (des Hauptzweiges) der reellwertigen Tangensfunktion \[ \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad -\,\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\,, \] heißt Arkustangens \[ \arctan. \]

(i)	Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich von \( \tan \) und \( \arctan. \)
(ii)	Skizzieren Sie beide Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
(iii)	Berechnen Sie die Ableitungen von \( \tan \) und \( \arctan. \) Welches Monotonieverhalten besitzen diese Funktionen?