Präsenzblatt 14

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Aufgabe PA 70

 

Verifizieren Sie unter Benutzung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung:

 

 

(i)	\( \displaystyle\int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \) mit \( \alpha\in\mathbb R\setminus\{-1\} \)
(ii)	\( \displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln x+C \) für \( x\gt 0 \)
(iii)	\( \displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C \)
(iv)	\( \displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \) mit \( a\gt 0, \) \( a\not=1 \)
(v)	\( \displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C \)
(vi)	\( \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C \)
(vii)	\( \displaystyle\int\sinh x\,dx=\cosh x+C \)
(viii)	\( \displaystyle\int\cosh x\,dx=\sinh x+C \)

Aufgabe PA 71

 

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.

 

(i)	\( \displaystyle\int\limits_{-1}^3x\,dx \)	(ii)	\( \displaystyle\int\limits_0^2(x^3+2x)\,dx \)
(iii)	\( \displaystyle\int\limits_0^1x\,\sqrt{x}\,dx \)	(iv)	\( \displaystyle\int\limits_1^2\frac{dx}{2x} \)
(v)	\( \displaystyle\int\limits_0^\pi\cos x\,dx \)	(vi)	\( \displaystyle\int\limits_0^3\sinh x\,dx \)
(vii)	\( \displaystyle\int\limits_0^2\frac{3e^x}{2}\,dx \)	(viii)	\( \displaystyle\int\limits_1^22^x\,dx \)

 

Aufgabe PA 72

 

Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale

 

(v)

\( \displaystyle\int xe^{-x^2}\,dx \)

(vi)

\( \displaystyle\int \sin^2x\,dx \)

 

Für \( n\in\mathbb N \) und alle \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2, \) beweise man nun folgende Rekursionsformeln:

 

(i)	\( \displaystyle\int\sin^nx\,dx=-\frac{1}{n}\,\sin^{n-1}x\cdot\cos x+\frac{n-1}{n}\,\int\sin^{n-2}x\,dx \)
(ii)	\( \displaystyle\int\cos^nx\,dx=\frac{1}{n}\,\cos^{n-1}x\cdot\sin x+\frac{n-1}{n}\,\int\cos^{n-2}x\,dx \)

 

Aufgabe PA 73

 

Berechnen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung der Substitutionsregel.

 

(i)	\( \displaystyle\int\limits_0^1(1-3x)^3\,dx \)	(ii)	\( \displaystyle\int\limits_0^1 3x^2e^{x^3}\,dx \)
(iii)	\( \displaystyle\int\limits_0^1e^x\sin e^x\,dx \)	(iv)	\( \displaystyle\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\cos(5x+1)\,dx \)
(v)	\( \displaystyle\int\limits_0^1e^{e^x}e^x\,dx \)	(vi)	\( \displaystyle\int\limits_0^1\frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\,dx \)

 

Aufgabe PA 74

 

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale unter Benutzung der Regel der partiellen Integration.

 

(i)	\( \displaystyle\int\limits_0^1xe^x\,dx \)	(ii)	\( \displaystyle\int\limits_0^1x^2e^x\,dx \)
(iii)	\( \displaystyle\int_1^2\ln x\,dx \)	(iv)	\( \displaystyle\int_1^2x^2\ln x\,dx \)
(v)	\( \displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx \)	(vi)	\( \displaystyle\int_0^\pi e^x\sin x\,dx \)