Abschnitt 3.3: Eigenschaften reeller Zahlen II
Dezimaldarstellung reeller Zahlen
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Dezimalentwicklungen als rationale Cauchyfolgen)
Verifizieren Sie, dass vermittels \[ \widetilde x_n=\sum_{k=0}^n\frac{x_k}{10^k}\,,\quad n=0,1,2,\ldots, \] mit \( x_0\in\{0,1\} \) und \( x_k\in\{0,1,\ldots,9\} \) für \( k=1,2,\ldots \) eine rationale Cauchyfolge \( \{\widetilde x_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) gegeben ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Dezimaldarstellung rationaler Zahlen I)
Mit einem \( n\in\mathbb N \) betrachten wir endliche Dezimaldarstellung \[ z=x_0.x_1x_2\ldots x_n=x_0.x_1x_2\ldots x_n000.\ldots \] Beweisen Sie, dass dann \( z \) eine rationale Zahl darstellt.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Dezimaldarstellung rationaler Zahlen II)
Mit natürlichen Zahlen \( k,n\in\mathbb N \) betrachten wir die periodische Dezimaldarstellung \[ z=x_0.x_1\ldots x_kz_1\ldots z_nz_1\ldots z_nz_1\ldots z_n\ldots \] Beweisen Sie, dass \( z \) eine rationale Zahl darstellt.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Dezimaldarstellung rationaler Zahlen III)
Beweisen Sie: Jede rationale Zahl \( z \) besitzt eine endliche oder eine periodische Dezimaldarstellung.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Addition von Dezimaldarstellungen)
Mit einem \( n\in\mathbb N \) seien \[ x=x_0.x_1x_2\ldots x_n \quad\text{und}\quad y=y_0.y_1y_2\ldots y_n \] die endlichen Dezimaldarstellungen zweier rationaler Zahlen \( x,y. \) Leiten Sie eine Regel zur Addition \( x+y \) unter Verwendung dieser Dezimaldarstellungen ab.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Multiplikation von Dezimaldarstellungen)
Mit einem \( n\in\mathbb N \) seien \[ x=x_0.x_1x_2\ldots x_n \quad\text{und}\quad y=y_0.y_1y_2\ldots y_n \] die endlichen Dezimaldarstellungen zweier rationaler Zahlen \( x,y. \) Leiten Sie eine Regel zur Multiplikation \( x\cdot y \) unter Verwendung dieser Dezimaldarstellungen ab.
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Überabzählbarkeit der reellen Zahlen)
In der Vorlesung haben wir die Überabzählbarkeit der Menge \( M=[0,1] \) gezeigt. Schließen Sie auf die Überabzählbarkeit von \( \mathbb R. \)
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Menge der irrationalen Zahlen, d.h. der nicht rationalen Zahlen, überabzählbar ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Überabzählbarkeit der binären Zahlenfolgen)
Es bezeichne \( M \) die Menge aller Zahlenfolgen \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\ x_n\in\{0,1\}\,. \] Beweisen Sie, dass \( M \) überabzählbar ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen I)
Unter der Potenzmenge \( {\mathcal P}(M) \) einer Menge \( M \) verstehen wir die Menge aller Teilmengen von \( M, \) d.h. \[ {\mathcal P}(M):=\{A\,:\,A\subseteq M\}\,. \] Beweisen Sie, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen nicht abzählbar ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen II)
Beweisen Sie, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig sind.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen)
Eine reelle Zahl \( x\in\mathbb R \) heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms \[ p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n \] mit ganzzahligen Koeffizienten \( a_k\in\mathbb Z \) für alle \( k=1,2,\ldots,n \) ist. Beweisen Sie, dass die Menge \( \mathbb A \) aller algebraischer Zahlen abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Überabzählbarkeit der transzendenten Zahlen)
Eine reelle Zahl \( x\in\mathbb R \) heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch ist. Beweisen Sie, dass die Menge der transzendenten reellen Zahlen überabzählbar ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Überabzählbarkeit der reellwertigen Funktionen)
Beweisen Sie, dass die Menge der aller reellwertigen Funktionen \[ f\colon\mathbb R\to\mathbb R \] überabzählbar ist.
Lösung der \( p \)-ten Potenzgleichung
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Kettenbruchentwicklung von \( \sqrt{2} \))
| (i) | Verifizieren Sie |
\[ \sqrt{2}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+1\,. \]
| (ii) | Schließen Sie heuristisch auf die Kettenbruchentwicklung |
\[ \sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\cdots}}}}\,. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Kettenbruchentwicklung von \( \sqrt{3} \))
| (i) | Verifizieren Sie |
\[ \sqrt{3}=1+\frac{2}{1+\sqrt{3}}\,. \]
| (ii) | Schließen Sie heuristisch auf die Kettenbruchentwicklung |
\[ \sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\cdots}}}}}}\,. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Faktorisieren von Potenzen)
Es sei \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2. \) Verifizieren Sie die folgenden Identitäten:
| (i) | \( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \) |
| (ii) | \( x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) \) |
| (iii) | \( x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1}) \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Lösungsformel für quadratische Gleichungen)
Beweisen Sie, dass durch \[ x_{1/2}=-\,\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \] beide Lösungen der quadratischen Gleichungen \[ x^2+px+q=0,\quad p,q\in\mathbb R\ \text{mit}\ p^2\ge 4q \] gegeben sind, und zwar
| (i) | einmal durch direktes Einsetzen der Lösungen in die quadratische Gleichung, |
| (ii) | dann vermittels quadratischer Ergänzung der quadratischen Gleichung. |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Lösen quadratischer Gleichungen)
Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen.
| (i) | \( x^2-2x-15=0 \) |
| (ii) | \( x^2+13x+12=0 \) |
| (iii) | \( x^2+4x-12=0 \) |
| (iv) | \( 6x^2-x-1=0 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Eine Textaufgabe)
Gesucht sind zwei Zahlen \( x,y\in\mathbb R, \) deren Summe gleich \( 7 \) und deren Produkt gleich \( 12 \) ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 6/84)
Gesucht sind alle Lösungen des Gleichungssystems \[ 16x^2-30xy+9y^2=0,\quad -xy+3y^2=6. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 6/85)
Wie viele verschiedene reelle Lösungen besitzt das folgende quadratische Gleichungssystem \[ x^2+y=a,\quad x+y^2=a \] in Abhängigkeit vom reellen Parameter \( a? \)
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Zum Faktorisieren von Potenzen I)
| (i) | Beweisen Sie, dass für alle \( k\in\mathbb N \) gilt |
\[ \sqrt{k}-\sqrt{k-1}\le\frac{1}{\sqrt{k}}\,. \]
| Benutzen Sie dazu die Identität \( a^2-b^2=(a-b)(a+b). \) | |
| (ii) | Beweisen Sie damit |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Zum Faktorisieren von Potenzen II)
Zu vorgegebenem reellen \( \delta\gt 0 \) gelte \[ |x-a|\le\delta. \] Zeigen Sie, dass dann gilt \[ |x^n-a^n|\lt n\delta(|a|+\delta)^{n-1}\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 9/89)
Man ermittle alle reellen Zahlen \( x\ge 0, \) die der Gleichung genügen \[ \sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}=6\,\sqrt[6]{x}\,. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 24/78)
Beweisen Sie, dass keine der folgenden Zahlen \[ 11,\quad 111,\quad 1111,\quad 11111\quad\text{usw.} \] das Quadrat einer ganzen Zahl ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 2/70)
Beweisen Sie, dass die Gleichung \[ \sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}+x}-\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}-x}=a \] für jedes \( a\in\mathbb Z \) genau eine reelle Lösung \( x\in\mathbb R \) besitzt, die sogar ganzzahlig ist.
\( b \)-adische Darstellung
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen II - Berechnen \( b \)-adischer Zahlen)
Bestimmen Sie von den folgenden, bez. der Basis \( b=10 \) gegebenen Zahlen \( z \)
| (i) | \( z=3 \) |
| (ii) | \( z=17 \) |
| (iii) | \( z=348 \) |
| (iv) | \( z=1997 \) |
| (v) | \( z=3.14 \) |
| (vi) | \( z=12.6 \) |
| (vii) | \( z=123.4 \) |
| (viii) | \( z=1297.742 \) |
die \( b \)-adischen Darstellungen für die folgenden Basen \( b: \)
| (i) | \( b=2 \) |
| (ii) | \( b=3 \) |
| (iii) | \( b=4 \) |
| (iv) | \( b=5 \) |
| (v) | \( b=6 \) |
| (vi) | \( b=7 \) |
| (vii) | \( b=8 \) |
| (viii) | \( b=9 \) |
| (vii) | \( b=11 \) |
| (viii) | \( b=12 \) |