Abschnitt 3.4: Reelle Zahlenfolgen
Konvergente Zahlenfolgen
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Beweise zu Nullfolgen I)
Beweisen Sie:
| (i) | Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine reelle Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist |
\[ \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad c_n:=c\cdot a_n \]
| eine reelle Nullfolge. | |
| (ii) | Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}, \) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei reelle Nullfolgen, so ist |
\[ \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad c_n:=a_n+b_n \]
| eine reelle Nullfolge. | |
| (iii) | Sind \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}, \) \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei reelle Nullfolgen, so ist |
\[ \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad c_n:=a_n\cdot b_n \]
| eine reelle Nullfolge. |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Beweise zu Nullfolgen II)
Es seien \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine reelle Zahlenfolge und \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine reelle Nullfolge mit der Eigenschaft \[ |a_n|\le|b_n|\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Beweisen Sie, dass dann auch \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine Nullfolge darstellt.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Beweise zu Nullfolgen III)
Es sei \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine nicht notwendig konvergente, aber beschränkte Zahlenfolge, d.h. mit einem \( C\in\mathbb R \) gelte \[ |a_n|\le C\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \] Sei weiter \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine Nullfolge. Beweisen Sie, dass dann \[ \{c_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad c_n:=a_n\cdot b_n \] ebenfalls eine Nullfolge ist.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Positiver oder negativer Grenzwert)
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine reelle, konvergente Zahlenfolge mit \[ \lim_{n\to\infty}x_n=x. \] Beweisen Sie unter Benutzung der Definition des Grenzwertes:
| (i) | Ist \( x\gt 0, \) so existiert ein \( N\in\mathbb N \) mit |
\[ x_n\gt 0\quad\text{für alle}\ n\ge N. \]
| (ii) | Ist \( x\lt 0, \) so existiert ein \( N\in\mathbb N \) mit |
\[ x_n\lt 0\quad\text{für alle}\ n\ge N. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Schranken konvergenter Zahlenfolgen)
Beweisen Sie, dass für jede konvergente Folge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine reelle Zahl \( C\gt 0 \) existiert mit \[ |x_n|\le C\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Zusammensetzen von Grenzwerten)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergente reelle Zahlenfolgen mit \[ x=\lim_{n\to\infty}x_n\quad\text{und}\quad y=\lim_{n\to\infty}y_n. \] Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
| (i) | Es gilt |
\[ \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y. \]
| (ii) | Für alle \( \alpha\in\mathbb R \) gilt |
\[ \lim_{n\to\infty}(\alpha\cdot x_n)=\alpha\cdot x. \]
| (iii) | Es gilt |
\[ \lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)=x\cdot y. \]
| (iv) | Falls \( x_n\not=0 \) für alle \( n\in\mathbb N \) und \( x\not=0, \) so gilt |
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x}\,. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Grenzwerten I)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
| (i) | \( \displaystyle\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left\{\frac{n+1}{n^3+4}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\left\{\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (iv) | \( \displaystyle\left\{\frac{n^5+7n}{n^4+4n^2-1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (v) | \( \displaystyle\left\{\frac{n^7+n^6-3}{n(1+n^2+6n^6)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (vi) | \( \displaystyle\left\{\frac{3+n(n^2-1)}{n^4(1+n+3n^2)}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Grenzwerten II)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
| (i) | \( \displaystyle\Big\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left\{-n+\sqrt{1+n+n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\Big\{n-\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\Big\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (iv) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[4]{n^2+1}-\sqrt[4]{n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (v) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[8]{n^2+1}-\sqrt[8]{n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (vi) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[8]{n^2+1}-\sqrt[4]{n^2+1}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Grenzwerten III)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
| (i) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[n]{a}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( a\ge 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[n]{a}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( 0\lt a\lt 1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\left\{\sqrt[n]{n}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (iv) | \( \displaystyle\left\{a^{-n}n^k\right\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( k\in\mathbb N, \) \( a\gt 1 \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Grenzwerten IV)
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
| (i) | \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2}\right\}_{n=1,2,\ldots} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\left\{\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{16}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right\}_{n=2,3,\ldots} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}_{n=2,3,\ldots} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Eine spezielle Konvergenzuntersuchung)
Untersuchen Sie die Folge \[ \{q^n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \] mit fest gewähltem \( q\in\mathbb R\setminus\{0\} \) auf Konvergenz.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Konvergenz von Mittelwerten)
| (i) | Beweisen Sie: Konvergiert die reelle Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) gegen einen Grenzwert \( x\in\mathbb R, \) so konvergiert ebenfalls gegen dieses \( x\in\mathbb R \) |
\[ \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad y_n:=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\,. \]
| (ii) | Geben Sie ein Beispiel einer nicht konvergenten Folge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R, \) für welche aber die Folge \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert. |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Konvergente Wurzeln von Zahlenfolgen)
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine reelle Zahlenfolge mit \( x_n\gt 0 \) für alle \( n=1,2,\ldots \) Weiter existiere \[ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=:\ell\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=\ell. \]
Dichtheit von \( \mathbb Q, \) Vollständigkeit von \( \mathbb R \)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Dichtheit der irrationalen Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Menge der irrationalen Zahlen dicht in \( \mathbb R \) ist.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Dichtheit der echt gebrochenen Dualzahlen)
Beweisen Sie, dass die Menge \[ M:=\left\{\,\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{2^k}\,:\,0\le a_k\lt 2,\ n\in\mathbb N_0\right\} \] dicht im abgeschlossenen Intervall \( [0,1]\subset\mathbb R \) liegt.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die Fibonaccifolge I)
Betrachten Sie die rekursiv gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \[ x_1:=1,\quad x_2:=1,\quad x_n:=x_{n-1}+x_{n-2}\quad\text{für}\ n=3,4,\ldots \]
| (i) | Berechnen Sie \( x_3, \) \( x_4, \) \( x_5 \) und \( x_6. \) |
| (ii) | Zeigen Sie, dass \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) keine reelle Cauchyfolge darstellt. |
| (iii) | Beweisen Sie |
\[ x_n\ge\left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die Fibonaccifolge II)
Wir betrachten die Fibonaccifolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) aus voriger Aufgabe. Desweiteren sei \[ \varphi:=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,. \] Die Zahl \( \varphi \) heißt goldener Schnitt.
| (i) | Zeigen Sie, dass \( \varphi \) und \( 1-\varphi \) Lösungen der Gleichung \( x^2=x+1 \) sind. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass für alle \( n=1,2,\ldots \) gelten |
\[ \varphi^{n+1}=\varphi^n+\varphi^{n-1} \quad\text{und}\quad (1-\varphi)^{n+1}=(1-\varphi)^n+(1-\varphi)^{n-1}\,. \]
| (iii) | Beweisen Sie nun die Darstellung |
\[ x_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig I)
Betrachten Sie die durch \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\quad\text{für}\ n=2,3,\ldots \] gegebene rekursive Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) Diese Folge konvergiert gegen einen Grenzwert \( x\in\mathbb R. \) Bestimmen Sie dieses \( x, \) und verifieren Sie \( x\not\in Q. \)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig II)
Finden Sie eine rationale Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit der Eigenschaft \[ \lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{3}\,. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Beispiel zum Vollständigkeitskriterium)
Betrachten Sie die rekursiv gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=1+\frac{1}{1+x_n}\quad\text{für}\ n=2,3,\ldots \]
| (i) | Berechnen Sie \( x_2, \) \( x_3, \) \( x_4 \) und \( x_5. \) |
| (ii) | Beweisen Sie, dass gilt \( 1\le x_n\le 2 \) für alle \( n\in\mathbb N. \) |
| (iii) | Folgen Sie damit, dass ein \( q\in(0,1) \) existiert mit |
\[ |x_{n+1}-x_n|\le q^{n-1}|x_2-x_1|\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots\,, \]
| und dass \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) somit eine rationale Cauchyfolge darstellt, die in \( \mathbb R \) konvergiert. | |
| (iv) | Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge. |
Der Häufungsstellensatz von Weierstraß
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Teilfolgen und Häufungsstellen I)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\text{mit}\quad x_n:=\frac{3n}{(-2)^n}\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine Nullfolge ist. |
| (ii) | Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie. |
| (iii) | Bestimmen Sie zwei verschiedene Teilfolgen und ihre Häufungsstellen. |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Bestimmen von Teilfolgen und Häufungsstellen II)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\text{mit}\quad x_n:=1+\frac{(-1)^n}{n}\,. \]
| (i) | Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie. |
| (ii) | Bestimmen Sie zwei verschiedene Teilfolgen und ihre Häufungsstellen. |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Teilfolgen unbeschränkter Folgen)
Vorgelegt sei die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \quad\text{mit}\quad x_n :=\left\{ \begin{array}{ll} n, & \quad\text{falls}\ n\ \text{gerade} \\[1ex] \displaystyle \frac{1}{n}\,, & \quad\text{falls}\ n\ \text{ungerade} \end{array} \right.. \]
| (i) | Ermitteln Sie \( x_1, \) \( x_2, \) \( x_3, \) \( x_4 \) und \( x_5. \) |
| (ii) | Ist die Folge beschränkt? Begründen Sie. |
| (iii) | Bestimmen Sie eine konvergente Teilfolge. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Häufungsstellen von Zahlenfolgen)
Bestimmen Sie alle Häufungsstellen der wie folgt gegebenen Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}. \)
| (i) | \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{2^n} \) |
| (ii) | \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{2^n}+(-1)^n \) |
| (iii) | \( \displaystyle x_n:=1+\frac{(-1)^n}{n} \) |
| (iv) | \( \displaystyle x_n:=1+2^{(-1)^{(-1)^n}} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Zwei Charakterisierungen von Folgenkonvergenz)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine reelle Zahlenfolge und \( x\in\mathbb R. \) Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
| (i) | Die Folge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert gegen \( x. \) |
| (ii) | Jede Teilfolge von \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert gegen \( x. \) |
Monoten Zahlenfolgen
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Monotone Zahlenfolgen I)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) vermöge \[ x_n:=\frac{3n-1}{n^2}\,,\quad n=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Folge. |
| (ii) | Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \) |
| (ii) | Begründen Sie, dass die Folge in \( \mathbb R \) konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Monotone Zahlenfolgen II)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) vermöge \[ x_n:=-1+\left(\frac{1}{7}\right)^n\,,\quad n=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Folge. |
| (ii) | Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \) |
| (ii) | Begründen Sie, dass die Folge in \( \mathbb R \) konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Grenzwert einer iterierten Wurzel)
| (i) | Beweisen Sie: Ist $a\in(0,2)$ eine reelle Zahl, so gilt |
\[ a\lt\sqrt{2a}\lt 2. \]
| (ii) | Beweisen Sie, dass die durch |
\[ x_1:=\sqrt{2}\,,\quad x_2:=\sqrt{2\sqrt{2}}\,,\quad x_3:=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} \quad\text{usw.} \]
| gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert. | |
| (iii) | Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge. |
(aus M. Spivak, Aufgabe 5 zu Kapitel 22).
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Noch einmal zur Approximation von \( \sqrt{2} \))
Betrachten Sie erneut die durch die Rekursion \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\quad\text{für}\ n=2,3,\ldots \] gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}. \) Beweisen Sie diese Folge monoton wachsend ist und daher konvergiert.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die Eulersche Zahl)
Betrachten Sie die beiden durch \[ \begin{array}{l} \displaystyle a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,, \\[4ex] b_n:=\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^n\,,\quad n=1,2,\ldots, \end{array} \] gegebenen Zahlenfolgen \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \)
| (i) | Beweisen Sie Monotonie und Beschränktheit beider Folgen. |
| (ii) | Folgern Sie, dass beide Folgen in \( \mathbb R \) konvergieren mit |
\[ a:=\lim_{n\to\infty}a_n=a,\quad b:=\lim_{n\to\infty}b_n\,. \]
| (iii) | Beweisen Sie, dass diese Grenzwerte übereinstimmen: \( a=b. \) |
Diesen gemeinsamen Grenzwert bezeichnet man als die Eulersche Zahl \[ e=2,7182818284\ldots \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Ein Beispiel zweier gekoppelter Zahlenfolgen)
Es sei \( 0\lt a_1\lt b_1. \) Betrachten Sie die durch \[ x_{n+1}:=\sqrt{a_1b_1}\,,\quad y_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}\,,\quad n=1,2,\ldots, \] gegebenen Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) (aus M. Spivak, Aufgabe 6 zu Kapitel 22).
Infimum und Supremum
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Maximum und Minimum zweier Zahlen)
Verifizieren Sie:
| (i) | \( \displaystyle\max\{x,y\}=\frac{1}{2}\,\big(x+y+|x-y|\big) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\max\{x,y\}=\frac{1}{2}\,\big(x+y-|x-y|\big) \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen I)
Bestimmen Sie, falls existent, eine untere Schranke, eine obere Schranke sowie Infimum und Supremum folgender Mengen. Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.
| (i) | \( \displaystyle A:=\left\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle B:=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle C:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2-1\le 0\big\} \) |
| (iv) | \( \displaystyle D:=\left\{x\in\mathbb Q\,:\,0\le x\lt\sqrt{2}\right\} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen II)
Bestimmen Sie, falls existent, eine untere Schranke, eine obere Schranke sowie Infimum und Supremum der folgenden Mengen. Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.
| (i) | \( \displaystyle A:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2\lt x+1\big\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle B:=\left\{\frac{2n+3}{3-4n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle C:=\left\{\frac{|x|}{1+|x|}\,:\,x\in\mathbb R\right\} \) |
| (iv) | \( \displaystyle D:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\,:\,m,n\in\mathbb N\right\} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen III)
Gegeben sei die Menge \[ M:=\{x\in\mathbb R\,:\,x\ge 0,\ x^3\lt 2\}\,. \] Zeigen Sie, dass \( \sup M \) existiert, und dass gilt \( (\sup M)^3=2. \)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen IV)
Geben Sie
| (i) | eine abzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \) |
| (ii) | eine überabzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \) |
an, jeweils mit den vier Eigenschaften \[ 0\in C,\quad 1\not\in C,\quad \inf C=0,\quad \sup C=1. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Schranken an Potenzen reeller Zahlen)
Wir betrachten die Menge \[ M_x:=\{x^n\,:\,n\in\mathbb N\}=\{a,a^2,a^3,a^4,\ldots\}\,. \] Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) für welche \( M_x \) ein Supremum, ein Infimum, ein Maximum bzw. ein Minimum besitzt. Geben Sie diese Werte auch an.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Zwei zueinander angeordnete Mengen)
Es seien \( A\subset\mathbb R \) und \( B\subset\mathbb R \) zwei nichtleere Mengen, so dass gilt \[ x\le y\quad\text{für alle}\ x\in A\ \text{und alle}\ y\in B. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \sup A\le y \) für alle \( y\in B \) gilt. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass \( \sup A\le\inf B \) gilt. |
(aus M. Spivak, Aufgabe 12 zu Kapitel 8)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Supremum der Summe zweier Mengen)
Seien \( A\subset\mathbb R \) und \( B\subset\mathbb R \) nichtleere und nach oben beschränkt, und \[ A+B:=\{x+y\,:\,x\in A,\ y\in B\}\,. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \sup(A+B)=\sup A+\sup B. \]
Limes inferior und limes superior
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Berechnen von limes inferior und limes superior)
Ermitteln Sie limes inferior und limes superior der folgenden Zahlenfolgen.
| (i) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{(-1)^n}{n} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{n}{2} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=1+(-1)^n \) |
| (iv) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}+\big[1+(-1)^n\big]\cdot n \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Limes inferior kleiner oder gleich limes superior)
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine reelle Zahlenfolge. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \liminf_{n\to\infty}x_n\le\limsup_{n\to\infty}x_n\,. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Limes superior des Produktes von Zahlenfolgen)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) zwei beschränkte reelle Zahlenfolgen mit nichtnegativen Gliedern \( x_n\ge 0 \) und \( y_n\ge 0 \) für alle \( n=1,2,\ldots \) Beweisen Sie \[ \limsup_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)\le\limsup_{n\to\infty}x_n\cdot\limsup_{n\to\infty}y_n\,. \]
Der erweiterte Zahlenraum
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Unbeschränkte Zahlenfolgen)
Begründen Sie, ob folgende Zahlenfolgen in \( \mathbb R \) konvergieren, und ermitteln Sie eventuell ihre uneigentlichen Grenzwerte bzw. uneigentlichen Häufungsstellen.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=2n \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=2^n-n \) |
| (iii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=(-1)^nn \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Eigene Beispiele unbeschränkter Zahlenfolgen)
| (i) | Ermitteln Sie jeweils ein Beispiel einer reeller Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit folgenden Eigenschaften |
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\,,\quad\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\,. \]
| Begründen Sie jeweils. | |
| (ii) | Ermitteln Sie zwei Folgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}, \) einmal mit |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty\,, \\[2ex] \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=+\infty\,,\quad \lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)\in\mathbb R, \end{array} \]
| dann mit den Eigenschaften |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\,,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty\,, \\[2ex] \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)\in\mathbb R\,,\quad \lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)=-\infty\,. \end{array} \]