Abschnitt 3.5: Komplexe Zahlen
Definition komplexer Zahlen
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Bestimmen von Realteil und Imaginärteil)
Wie lauten Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen?
| (i) | \( z=(3,1) \) |
| (ii) | \( z=(0,27) \) |
| (iii) | \( (17,1) \) |
| (iv) | \( \displaystyle z=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \) |
| (v) | \( \displaystyle z=\left(1,\frac{3}{8}\right) \) |
| (vi) | \( \displaystyle z=\left(-3,-\frac{27}{9}\right) \) |
Eigenschaften komplexer Zahlen
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Summe und Produkt komplexer Zahlen)
Berechnen Sie Summe \( z_1+z_2 \) und Produkt \( z_1\cdot z_2. \)
| (i) | \( z_1=(1,2), \) \( z_2=(0,-12) \) |
| (ii) | \( z_1=(1,2), \) \( z_2=(2,5) \) |
| (iii) | \( z_1=(3,7), \) \( z_2=(18,0) \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Eigenschaften der Addition und Multiplikation)
Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z_1, \) \( z_2 \) und \( z_3 \) gelten:
| (i) | \( (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \) |
| (ii) | \( z_1+z_2=z_2+z_1 \) |
| (iii) | \( z_1\cdot z_2)\cdot z_3=z_1\cdot(z_2\cdot z_3) \) |
| (iv) | \( z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \) |
| (v) | \( (z_1+z_2)\cdot z_3=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3 \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Neutrales Element der Addition)
Beweisen Sie: Es existiert genau ein \( 0_{\mathbb C}=(0,0)\in\mathbb C \) mit \[ z+0_{\mathbb C}=z\quad\text{für alle}\ z\in\mathbb C. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Inverses Element der Addition)
Beweisen Sie: Zu jedem \( z=(x,y)\in\mathbb C \) existiert genau ein Element \( -z=(-x,-y)\in\mathbb C \) mit \[ z+(-z)=0_{\mathbb C}\,. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Neutrales Element der Multiplikation)
Beweisen Sie: Es existiert genau ein \( 1_{\mathbb C}=(1,0)\in\mathbb C \) mit \[ z\cdot 1_{\mathbb C}=z\quad\text{für alle}\ z\in\mathbb C. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Inverses Element der Multiplikation)
Beweisen Sie: Zu jedem \( z\in\mathbb C\setminus\{0_{\mathbb C}\} \) existiert genau ein Element \( z^{-1}\in\mathbb C \) mit \[ z\cdot z^{-1}=1_{\mathbb C}\,, \] nämlich mit \( z=(x,y), \) \( x^2+y^2\not=0, \) \[ z^{-1}=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\right). \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Bestimmen des multiplikativen Inversen)
Berechnen Sie die multiplikativen Inversen folgender komplexer Zahlen.
| (i) | \( z:=(1,0) \) |
| (ii) | \( z:=(0,1) \) |
| (iii) | \( z:=(1,7) \) |
| (iv) | \( z:=(5,-1) \) |
| (v) | \( z:=(-3,12) \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Die komplexen Zahlen als Körper)
Beweisen Sie, dass die Menge der komplexen Zahlen einen Körper bildet.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Die komplexen Zahlen sind-nicht-angeordnet)
Beweisen Sie, dass der Körper \( \mathbb C \) der komplexen Zahlen nicht angeordnet ist, d.h. neben der bekannten Relation \( = \) gibt es keine weitere Relation \( \gt \) mit den bekannten Anordnungsaxiomen.
Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Rechnen in kartesischer Darstellung)
Es seien \( z_1=x_1+iy_1 \) und \( z_2=x_2+iy_2 \) zwei komplexe Zahlen. Verifizieren Sie \[ \begin{array}{rcl} z_1+z_2\!\! & = & \!\!x_1+x_2+i(y_1+y_2), \\[0.6ex] z_1\cdot z_2\!\! & = & \!\!x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1). \end{array} \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Bestimmen von Real- und Imaginärteil)
Finden Sie alle reellen Zahlen \( x, \) \( y \) mit \[ -x+4iy+3ix-2y=-6i+4. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Vereinfachen komplexer Zahlen I)
Die folgenden komplexen Zahlen sind in die Form \( x+iy \) zu bringen.
| (i) | \( \displaystyle z=i(2-3i)^2(1+i) \) |
| (ii) | \( \displaystyle z=\frac{1}{i} \) |
| (iii) | \( \displaystyle z=\frac{1+2i}{3-i} \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Vereinfachen komplexer Zahlen II)
Die folgenden komplexen Zahlen sind in die Form \( x+iy \) zu bringen.
| (i) | \( \displaystyle z=(1+i)(1-i) \) |
| (ii) | \( \displaystyle z=\frac{1}{5+7i} \) |
| (iii) | \( \displaystyle z=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k \) mit \( k\in\mathbb N \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Potenzen der komplexen Einheit I)
Ausgehend von \( ^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln \[ i^4\,,\quad i^5\,,\quad i^6\,,\quad i^7\,,\quad i^8\,. \] Welche Regelmäßigkeit erkennen Sie für die Potenzen \( i^n \) mit natülichen Exponenten \( n=1,2,3,\ldots \) (ohne Beweis)?
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Potenzen der komplexen Einheit II)
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.
| (i) | \( \displaystyle z=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7 \) |
| (ii) | \( \displaystyle z=i^{10}+i^{14}-i^{17}+(-i)^{23} \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Potenzen der komplexen Einheit III)
Berechnen Sie
| (i) | \( z:=i^{333} \) |
| (ii) | \( z:=i^{912} \) |
| (iii) | \( z:=i^{1025} \) |
| (iv) | \( z:=i^{3187} \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Potenzen der komplexen Einheit IV)
Ausgehend von \[ \frac{1}{i}=\frac{i^4}{i}=i^3=-i \] und daher \[ i^{-n}=(i^{-1})^n=\left(\frac{1}{i}\right)^n=(-i)^n=(-1)^ni^n \] für \( n=1,2,3,\ldots \) sind die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen.
| (i) | \( \displaystyle z_1=3i^{-5}+6i^{12}-i^{17} \) |
| (ii) | \( \displaystyle z_2=17i^{-11}+5i^{-6}+1+4i^6 \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Quadratische Gleichungen im Komplexen)
Durch Anwenden der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimme man die beiden komplexwertigen Lösungen folgender Gleichungen.
| (i) | \( z(10-z)=41 \) |
| (ii) | \( z^2-5z+17=0 \) |
| (iii) | \( -2z^2-17z=128 \) |
Betrag und komplexe Konjugation
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Darstellung von Real-und Imaginärteil)
Es sei \( z\in\mathbb C \) eine komplexe Zahl. Verifizieren Sie \[ \text{Re}\,z=\frac{z+\overline z}{2}\,,\quad \text{Im}\,z=\frac{z-\overline z}{2i}\,. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Betrag und komplexe Konjugation)
Beweisen Sie, dass für alle komplexen Zahlen \( z, \) \( z_1 \) und \( z_2 \) gelten:
| (i) | \( |z|\ge 0 \) und \( |z|=0 \) genau dann, wenn \( z=0 \) |
| (ii) | \( \overline{\overline z}=z \) |
| (iii) | \( |z|=|\overline z| \) |
| (iv) | \( z\cdot\overline z=|z|^2 \) |
| (v) | \( \overline{z_1+z_2}=\overline z_1+\overline z_2 \) |
| (vi) | \( \overline{z_1\cdot z_2}=\overline z_1\cdot\overline z_2 \) |
| (vii) | \( |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \) |
Verwenden Sie dabei die kartesische Darstellung \( z=x+iy. \)
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Berechnen des Betrags komplexer Zahlen)
Bestimmen Sie die Beträge der folgenden komplexen Zahlen.
| (i) | \( \displaystyle z=\sqrt{3}+i \) |
| (ii) | \( z=7 \) |
| (iii) | \( \displaystyle z=\sqrt{2}-7i \) |
| (iv) | \( \displaystyle z=(1+i)(2-i) \) |
| (v) | \( \displaystyle z=\frac{1}{1+i} \) |
| (vi) | \( \displaystyle z=\frac{3-i}{1+2i} \) |
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Betrag von Real- und Imaginärteil)
Zeigen Sie, dass für alle \( z\in\mathbb C \) richtig sind \[ |\mbox{Re}\,z|\le|z|,\quad |\mbox{Im}\,z|\le|z|. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Dreiecksungleichung im Komplexen)
Es seien \( w,z\in\mathbb C \) zwei komplexe Zahlen. Beweisen Sie die Gültigkeit der Dreiecksungleichung \[ |w+z|\le|w|+|z|. \]
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Parallelogrammgleichung im Komplexen)
Es seien \( w,z\in\mathbb C \) zwei komplexe Zahlen. Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Identität \[ |w+z|^2+|w-z|^2=2(|w|^2+|z|^2), \] und deuten Sie diese geometrisch.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Polynomielle Gleichungen mit reellen Koeffizienten)
Es sei \( z\in\mathbb C \) eine Lösung der Gleichung \[ z^n+p_{n-1}z^{n-1}+p_{n-2}z^{n-2}+\ldots+p_1z+p_0=0 \] mit reellen Koeffizienten \( p_0,p_1,\ldots,p_{n-1}\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann auch \( \overline z \) eine Lösung dieser polynomiellen Gleichung ist.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis)
Es seien \( w,z\in S^1 \) zwei Punkte auf dem Einheitskreis \[ S^1:=\{z\in\mathbb C\,:\,|z|=1\}. \] Beweisen Sie, dass dann auch \[ \overline z,\quad \frac{1}{z}\,,\quad wz,\quad \frac{w}{z} \] auf \( S^1 \) liegen, und dass gilt \( \displaystyle\frac{1}{z}=\overline z. \)
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Dreiecke in der komplexen Ebene I)
Bestimmen Sie \( z\in\mathbb C \) so, dass die komplexen Zahlen \( 1, \) \( 2+i \) und \( z \) in der komplexen Zahlenebene ein gleichseitiges Dreieck bilden.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Dreiecke in der komplexen Ebene II)
Seien \( z_1,z_2,z_3\in\mathbb C \) mit \[ |z_1|=|z_2|=|z_3| \quad\text{sowie}\quad z_1+z_2+z_3=0. \] Beweisen Sei, dass dann \( z_1, \) \( z_2 \) und \( z_3 \) die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in der komplexen Ebene bilden.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Summe komplexer Zahlen in einer Halbebene)
Die komplexen Zahlen \( z_1,\ldots,z_n\in\mathbb C \) liegen auf einer Seite einer durch den Koordinatenursprung \( (0,0)\in\mathbb C \) verlaufenden Geraden, wobei insbesondere \( z_i\not\in\ell \) für alle \( i=1,\ldots,n. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ z_1+z_2+\ldots+z_n\not=0. \] (aus M. Spivak, Aufgabe 11 zu Kapitel 25)
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Vollständigkeit der komplexen Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Menge \( \mathbb C \) vollständig ist. Gehen Sie dabei von der Vollständigkeit der reellen Zahlen aus.
Aufgabe (Komplexe Zahlen - Der Weierstraßsche Häufungsstellensatz in \( \mathbb C \))
Es ist der Weierstraßsche Häufungsstellensatz in \( \mathbb C \) zu formulieren und zu beweisen.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Monotone Zahlenfolgen I)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) vermöge \[ x_n:=\frac{3n-1}{n^2}\,,\quad n=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Folge. |
| (ii) | Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \) |
| (ii) | Begründen Sie, dass die Folge in \( \mathbb R \) konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Monotone Zahlenfolgen II)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) vermöge \[ x_n:=-1+\left(\frac{1}{7}\right)^n\,,\quad n=1,2,\ldots \]
| (i) | Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Folge. |
| (ii) | Bestimmen Sie ein \( C\in\mathbb R \) mit \( |x_n|\le C \) für alle \( n=1,2,\ldots \) |
| (ii) | Begründen Sie, dass die Folge in \( \mathbb R \) konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Grenzwert einer iterierten Wurzel)
| (i) | Beweisen Sie: Ist \( a\in(0,2) \) eine reelle Zahl, so gilt |
\[ a\lt\sqrt{2a}\lt 2. \]
| (ii) | Beweisen Sie, dass die durch |
\[ x_1:=\sqrt{2}\,,\quad x_2:=\sqrt{2\sqrt{2}}\,,\quad x_3:=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}} \quad\text{usw.} \]
| gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergiert. | |
| (iii) | Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge. |
(aus M. Spivak, Aufgabe 5 zu Kapitel 22).
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Noch einmal zur Approximation von \( \sqrt{2} \))
Betrachten Sie erneut die durch die Rekursion \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\quad\text{für}\ n=2,3,\ldots \] gegebene Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}. \) Beweisen Sie diese Folge monoton wachsend ist und daher konvergiert.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Die Eulersche Zahl)
Betrachten Sie die beiden durch \[ \begin{array}{l} \displaystyle a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,, \\[4ex] b_n:=\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^n\,,\quad n=1,2,\ldots, \end{array} \] gegebenen Zahlenfolgen \( \{a_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{b_n\}_{n=1,2,\ldots} \)
| (i) | Beweisen Sie Monotonie und Beschränktheit beider Folgen. |
| (ii) | Folgern Sie, dass beide Folgen in \( \mathbb R \) konvergieren mit |
\[ a:=\lim_{n\to\infty}a_n=a,\quad b:=\lim_{n\to\infty}b_n\,. \]
| (iii) | Beweisen Sie, dass diese Grenzwerte übereinstimmen: \( a=b. \) |
Diesen gemeinsamen Grenzwert bezeichnet man als die Eulersche Zahl \[ e=2,7182818284\ldots \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Ein Beispiel zweier gekoppelter Zahlenfolgen)
Es sei \( 0\lt a_1\lt b_1. \) Betrachten Sie die durch \[ x_{n+1}:=\sqrt{a_1b_1}\,,\quad y_{n+1}:=\frac{a_n+b_n}{2}\,,\quad n=1,2,\ldots, \] gegebenen Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \)
(aus M. Spivak, Aufgabe 6 zu Kapitel 22).
Infimum und Supremum
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Maximum und Minimum zweier Zahlen)
Verifizieren Sie:
| (i) | \( \displaystyle\max\{x,y\}=\frac{1}{2}\,\big(x+y+|x-y|\big) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\max\{x,y\}=\frac{1}{2}\,\big(x+y-|x-y|\big) \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen I)
Bestimmen Sie, falls existent, eine untere Schranke, eine obere Schranke sowie Infimum und Supremum folgender Mengen. Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.
| (i) | \( \displaystyle A:=\left\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle B:=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle C:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2-1\le 0\big\} \) |
| (iv) | \( \displaystyle D:=\left\{x\in\mathbb Q\,:\,0\le x\lt\sqrt{2}\right\} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen II)
Bestimmen Sie, falls existent, eine untere Schranke, eine obere Schranke sowie Infimum und Supremum der folgenden Mengen. Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.
| (i) | \( \displaystyle A:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2\lt x+1\big\} \) |
| (ii) | \( \displaystyle B:=\left\{\frac{2n+3}{3-4n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle C:=\left\{\frac{|x|}{1+|x|}\,:\,x\in\mathbb R\right\} \) |
| (iv) | \( \displaystyle D:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\,:\,m,n\in\mathbb N\right\} \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen III)
Gegeben sei die Menge \[ M:=\{x\in\mathbb R\,:\,x\ge 0,\ x^3\lt 2\}\,. \] Zeigen Sie, dass \( \sup M \) existiert, und dass gilt \( (\sup M)^3=2. \)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Infimum und Supremum von Mengen IV)
Geben Sie
| (i) | eine abzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \) |
| (ii) | eine überabzählbare Menge \( C\subset\mathbb R \) |
an, jeweils mit den vier Eigenschaften \[ 0\in C,\quad 1\not\in C,\quad \inf C=0,\quad \sup C=1. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Schranken an Potenzen reeller Zahlen)
Wir betrachten die Menge \[ M_x:=\{x^n\,:\,n\in\mathbb N\}=\{a,a^2,a^3,a^4,\ldots\}\,. \] Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) für welche \( M_x \) ein Supremum, ein Infimum, ein Maximum bzw. ein Minimum besitzt. Geben Sie diese Werte auch an.
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Zwei zueinander angeordnete Mengen)
Es seien \( A\subset\mathbb R \) und \( B\subset\mathbb R \) zwei nichtleere Mengen, so dass gilt \[ x\le y\quad\text{für alle}\ x\in A\ \text{und alle}\ y\in B. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \sup A\le y \) für alle \( y\in B \) gilt. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass \( \sup A\le\inf B \) gilt. |
(aus M. Spivak, Aufgabe 12 zu Kapitel 8)
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Supremum der Summe zweier Mengen)
Seien \( A\subset\mathbb R \) und \( B\subset\mathbb R \) nichtleere und nach oben beschränkt, und \[ A+B:=\{x+y\,:\,x\in A,\ y\in B\}\,. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \sup(A+B)=\sup A+\sup B. \]
Limes inferior und limes superior
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Berechnen von limes inferior und limes superior)
Ermitteln Sie limes inferior und limes superior der folgenden Zahlenfolgen.
| (i) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{(-1)^n}{n} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{n}{2} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=1+(-1)^n \) |
| (iv) | \( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}+\big[1+(-1)^n\big]\cdot n \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Limes inferior kleiner oder gleich limes superior)
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine reelle Zahlenfolge. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \liminf_{n\to\infty}x_n\le\limsup_{n\to\infty}x_n\,. \]
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Limes superior des Produktes von Zahlenfolgen)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) zwei beschränkte reelle Zahlenfolgen mit nichtnegativen Gliedern \( x_n\ge 0 \) und \( y_n\ge 0 \) für alle \( n=1,2,\ldots \) Beweisen Sie \[ \limsup_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)\le\limsup_{n\to\infty}x_n\cdot\limsup_{n\to\infty}y_n\,. \]
Der erweiterte Zahlenraum
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Unbeschränkte Zahlenfolgen)
Begründen Sie, ob folgende Zahlenfolgen in \( \mathbb R \) konvergieren, und ermitteln Sie eventuell ihre uneigentlichen Grenzwerte bzw. uneigentlichen Häufungsstellen.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=2n \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=2^n-n \) |
| (iii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n=(-1)^nn \) |
Aufgabe (Reelle Zahlenfolgen - Eigene Beispiele unbeschränkter Zahlenfolgen)
| (i) | Ermitteln Sie jeweils ein Beispiel einer reeller Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit folgenden Eigenschaften |
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\,,\quad\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\,. \]
| Begründen Sie jeweils. | |
| (ii) | Ermitteln Sie zwei Folgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}, \) einmal mit |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=0,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty\,, \\[2ex] \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=+\infty\,,\quad \lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)\in\mathbb R, \end{array} \]
| dann mit den Eigenschaften |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\,,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=+\infty\,, \\[2ex] \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)\in\mathbb R\,,\quad \lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)=-\infty\,. \end{array} \]