Hausaufgabenblatt 2
Aufgabe HA 7
Beweisen Sie: In einem metrischen Raum \( (X,d) \) mit der diskreten Metrik \( d(x,y) \) ist jede Teilmenge von \( X \) offen in \( (X,d). \)
Aufgabe HA 8
Beweisen Sie: In einem metrischen Raum \( (X,d) \) mit der diskreten Metrik \( d(x,y) \) ist jede Teilmenge \( U \) von \( X \) abgeschlossen in \( (X,d). \)
Aufgabe HA 9
Mit der gewöhnlichen Abstandsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) in \( \mathbb R \) betrachten wir die metrischen Räume \[ \begin{array}{ll} (X,d) & \quad\mbox{mit}\ X=\mathbb R, \\[0.4ex] (X^*,d) & \quad\mbox{mit}\ X^*=[0,1)\cup[2,3]. \end{array} \] Beweisen Sie:
| (i) | \( [0,1) \) ist abgeschlossen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
| (ii) | \( [0,1) \) ist offen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
| (iii) | \( [2,3] \) ist abgeschlossen in \( (X,d) \) und auch in \( (X^*,d) \) |
| (iv) | \( [2,3] \) ist offen in \( (X^*,d), \) aber nicht in \( (X,d) \) |
Aufgabe HA 10
Wir betrachten den metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der Abstandsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) und hierin die Teilmenge \[ U:=\left\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb N\right\}\subset\mathbb R. \] Geben Sie ohne weitere Begründung an \[ \mathring U,\quad \partial U,\quad \overline U\,. \]
Aufgabe HA 11
Es sei \( X \) eine nichtleere Menge. Beweisen Sie:
| (i) | Es ist \( (X,{\mathcal T}_1) \) mit \( {\mathcal T}_1:={\mathcal P}(X) \) und der Potenzmenge \( {\mathcal P}(X) \) von \( X \) ein topologischer Raum. Dabei heißt \( {\mathcal T}_1 \) die diskrete Topologie. |
| (ii) | Es ist \( (X,{\mathcal T}_2) \) mit \( {\mathcal T}_2:=\{\emptyset,X\} \) ein topologischer Raum. Dabei heißt \( {\mathcal T}_2 \) die indiskrete Topologie. |