Hausaufgabenblatt 6
Aufgabe HA 25
Betrachten Sie die Funktion \[ f\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x,y):=\sqrt{x^2+y^2}\,. \]
| (i) | Skizzieren Sie die Niveaulinien |
\[ \{(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\,:\,f(x,y)=\text{const}\}. \]
| Welche Art von Niveaulinien besitzt \( f? \) | |
| (ii) | Berechnen Sie den Gradienten \( \nabla f(x,y) \) für \( (x,y)\not=(0,0). \) |
| (iii) | Verifizieren Sie, dass der Gradient stets senkrecht auf den Niveaulinien steht. |
| (iv) | Ermitteln Sie die Richtungsableitungen von \( f \) in \( (x_0,y_0)=(1,0) \) in die Richtungen \( v=(1,0) \) und \( w=(0,1). \) Erläutern Sie kurz. |
Aufgabe HA 26
Wir betrachten die Funktion \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\ \displaystyle 0, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \]
| (i) | Ist \( f \) in \( (x_0,y_0)=(0,0) \) stetig? Begründen Sie. |
| (ii) | Ist \( f \) in \( (x_0,y_0)=(0,0) \) partiell differenzierbar? Begründen Sie, und berechnen Sie ggf. die partiellen Ableitungen \( f_x(0,0) \) und \( f_y(0,0). \) |
Aufgabe PA 27
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=2x-3y+xy-x^2y^3\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | In welchen Punkten \( (x,y)\in\mathbb R^2 \) ist \( f \) stetig? |
| (ii) | Berechnen Sie \( f_x(0,0) \) und \( f_y(0,0) \) durch Auswerten geeigneter Differenzenquotienten. |
| (iii) | Berechnen Sie \( f_x(x,y) \) und \( f_y(x,y) \) mit Hilfe bekannter Ableitungsregeln. Sind diese Ableitungen in \( (0,0) \) stetig? |
| (iv) | Ist \( f(x,y) \) in \( (0,0) \) vollständig differenzierbar? Benutzen Sie ein Kriterium zur vollständigen Differenzierbarkeit aus der Vorlesung. |
Aufgabe PA 28
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{x^2y}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[1ex] 0, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right.. \]
| (i) | In welchen Punkten \( (x,y)\in\mathbb R^2 \) ist \( f \) stetig? |
| (ii) | Berechnen Sie \( f_x(0,0) \) und \( f_y(0,0) \) durch Auswerten geeigneter Differenzenquotienten. |
| (iii) | Berechnen Sie \( f_x(x,y) \) und \( f_y(x,y). \) Sind diese Ableitungen in \( (0,0) \) stetig? |
| (iv) | Ist \( f \) in \( (0,0) \) vollständig differenzierbar? |