Hausaufgabenblatt 07

Hausaufgabenblatt 7

Aufgabe HA 29

Wie müssen \( a,b,c\in\mathbb R \) gewählt werden, damit die Funktion \[ f(x,y):=ax^2+2bxy+cy^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] harmonisch in \( \mathbb R^2 \) ist, d.h. der folgenden Laplacegleichung genügt \[ \Delta f(x,y)=f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=0\quad\text{in}\ \mathbb R^2\,? \]

Aufgabe HA 30

Für zwei Funktionen \( f,g\in C^2(\mathbb R^m,\mathbb R) \) ist zu beweisen \[ \Delta(fg)=g\cdot\Delta f+2\langle\nabla f,\nabla g\rangle+f\cdot\Delta g. \]

Aufgabe PA 31

Die Arcusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der auf Monotonieintervalle eingeschränkten Winkelfunktionen: \[ \begin{array}{l} \arcsin\colon[-1,1]\longrightarrow[\textstyle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\quad \arccos\colon[-1,1]\longrightarrow[0,\pi], \\[1ex] \arctan\colon(-\infty,\infty)\to(\textstyle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}). \end{array} \]

(i)

Skizzieren Sie diese drei Funktionen.

(ii)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten:

(1)	\( \arcsin(-x)=-\arcsin x \)
(2)	\( \arccos(-x)=\pi-\arccos x \)
(3)	\( \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x \)

(iii)

Beweisen Sie die folgenden Verknüpfungsregeln:

(1)	\( \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} \)
(2)	\( \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \)
(3)	\( \displaystyle\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
(4)	\( \displaystyle\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)

(iv)

Beweisen Sie die folgenden Ableitungsregeln:

(1)	\( \displaystyle\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
(2)	\( \displaystyle\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2} \)

(v)

Verifizieren Sie

\[ \arcsin x\approx x+\frac{1}{6}\,x^3\,,\quad x\in(-\varepsilon,\varepsilon), \]

für hinreichend kleines \( \varepsilon\gt 0. \)

Aufgabe PA 32

Bestimmen Sie das Taylorpolynom \( T_2f(x,y;x_0,y_0) \) der Funktion \[ f(x,y):=e^{xy}\sin x\cos y,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] an der Entwicklungsstelle \( (x_0,y_0)=(0,0). \)

Aufgabe PA 33

Bestimmen Sie das Taylorpolynom \( T_2f(x,y,z;x_0,y_0,z_0) \) der Funktion \[ f(x,y,z):=e^{x+y}\sinh x\cosh y-yz,\quad(x,y,z)\in\mathbb R^3\,, \] an der Entwicklungsstelle \( (x_0,y_0,z_0)=(1,0,1). \)