Hausaufgabenblatt 9
Aufgabe HA 38
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=y+xe^y\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass es eine Umgebung \( C\subset\mathbb R \) von \( 0\in\mathbb R \) und eine eindeutig bestimmte Auflösefunktion \( y=h(x), \) \( x\in C, \) gibt mit |
\[ h(0)=0,\quad f(x,h(x))=0\quad\mbox{in}\ C. \]
| (ii) | Ermitteln Sie |
\[ h(0),\qquad h'(0),\qquad h''(0). \]
Aufgabe HA 39
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)+\frac{1}{4},\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass es eine Umgebung \( C\subset\mathbb R \) von \( \frac{\sqrt{6}}{4}\in\mathbb R \) und eine eindeutig bestimmte Auflösefunktion \( y=h(x), \) \( x\in C, \) gibt mit |
\[ h\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4}\,,\quad f(x,h(x))=0\quad\mbox{in}\ C. \]
| (ii) | Ermitteln Sie |
\[ h\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right),\qquad h'\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right),\qquad h''\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right). \]
Aufgabe PA 40
Die Koordinaten des Schwerpunktes \( P=(x_s,y_s) \) eines Dreiecks \[ \triangle(A,B,C):=\{(x,y)=\lambda A+\mu B+\nu C\in\mathbb R^2\,:\,\lambda,\mu,\nu\in[0,1],\ \lambda+\mu+\nu=1\} \] mit den paarweise verschiedenen Eckpunkten \( A=(x_1,y_1), \) \( B=(x_2,y_2), \) \( C=(x_3,y_3) \) berechnen sich gemäß \[ x_s=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\,,\quad y_s=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\,. \] Beweisen Sie: Der Schwerpunkt ist unter allen Punkten des Dreiecks derjenige Punkt, für welchen die Summe der Abstandsquadrate zu den Ecken des Dreiecks minimal ist.
Aufgabe PA 41
Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der Funktion \[ f(x,y):=x^2y(4-x-y) \] im (abgeschlossenen) Dreieck, das begrenzt wird durch drei Geraden \[ g_1\,:\,x=0,\quad g_2\,:\,y=0,\quad g_3\,:\,x+y=6. \]
Aufgabe PA 42
Welches Rechteck hat bei gegebenem Umfang \( U=20\,\mbox{cm} \) den größten Flächeninhalt?
Aufgabe PA 43
Gesucht sind jene Punkte \( P=(x,y) \) der Ellipse \[ {\mathcal E}:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,F(x,y)=0\} \] mit der Funktion \[ F(x,y):=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1,\quad a,b\gt 0\ \mbox{und}\ a\not=b, \] welche vom Mittelpunkt \( (0,0)\in\mathbb R^2 \) extremalen Abstand haben.