Hausaufgabenblatt 10
Aufgabe HA 44
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=xe^{x^2}+\sinh x,\quad x\in\mathbb R. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung. |
| (ii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iii) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=\frac{1}{2}\,. \]
Aufgabe HA 45
Zu reellem \( \lambda\in\mathbb R\setminus\{0\} \) betrachten wir die Differentialgleichung \[ y'=\lambda y. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung vermittels der Methode der Trennung der Variablen. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass damit tatsächlich alle Lösungen der Gleichungen bestimmt sind. Werten Sie dazu das Produkt \( \Phi(x)e^{-\lambda x} \) aus mit einer beliebigen Lösung \( \Phi(x). \) |
| (iii) | Bestimmen Sie die einzige Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=1. \]
Aufgabe PA 46
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=e^y\sin x. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung vermittels der Methode der Trennung der Variablen. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass damit tatsächlich alle Lösungen bestimmt sind. |
| (iii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iv) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=1. \]