Präsenzblatt 1

Aufgabe PA 1

Wie wurden in der Vorlesung eine Metrik und ein metrischer Raum definiert?

Aufgabe PA 2

Es sei \( d(x,y) \) eine Metrik auf der nichtleeren Menge \( X. \) Beweisen Sie, dass dann auch \[ \widetilde d(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \] eine Metrik auf \( X \) ist.

Aufgabe PA 3

Wie wurden in der Vorlesung eine Norm und ein normierter Raum definiert?

Aufgabe PA 4

Wir betrachten den \( \mathbb R^n, \) ausgestattet mit dem Euklidischen Skalarprodukt \[ \langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^nx_ky_k\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,. \] Beweisen Sie, dass \( (\mathbb R^n,\|\cdot\|_2) \) mit der Setzung \[ \|x\|_2:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\,,\quad x\in\mathbb R^n\,, \] ein normierter Raum ist.