Präsenzblatt 3
Aufgabe PA 9
Wir betrachten die Menge \( X=\{1,2,3\} \) zusammen mit der diskreten Metrik \( d(x,y). \) Bestimmen Sie \( \mathring X \) in \( (X,d). \)
Aufgabe PA 10
Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen im metrischen Raum \( (\mathbb R,d) \) mit der gewöhnlichen Betragsmetrik \( d(x,y)=|x-y| \) abgeschlossen sind. Benutzung Sie dabei Satz 2 auf Seite 108 des Vorlesungsskriptes.
| (i) | \( U_1:=(0,1) \) |
| (ii) | \( U_2:=(0,1] \) |
| (iii) | \( U_3:=[0,1] \) |
Aufgabe PA 11
Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) offener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) im metrischen Raum \( (\mathbb R,|\cdot|) \) mit \[ U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \text{diam}\,U_k\to 0\ \text{für}\to k\to\infty,\quad \bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \]
Aufgabe PA 12
Geben Sie ein Beispiel einer Folge \( \{U_k\}_{k=1,2,\ldots} \) abgeschlossener Mengen \( U_k\subset\mathbb R \) im metrischen Raum \( (\mathbb R,|\cdot|) \) mit \[ U_1\supset U_2\supset U_3\supset\ldots,\quad \text{diam}\,U_k\not\to 0\ \text{für}\ k\to\infty,\quad \bigcap_{k=1}^\infty U_k=\emptyset\,. \]