Präsenzblatt 4
Aufgabe PA 13
Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen \( f,g,h\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \) zwischen den beiden metrischen Räumen \[ \begin{array}{lll} (\mathbb R^2,d) & \mbox{mit} & d(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\,, \\[1ex] (\mathbb R,\varrho) & \mbox{mit} & \varrho(u,v):=|u-v| \end{array} \] im Sinne der Definition stetig sind:
| (i) | \( f(x_1,x_2)=x_1 \) |
| (ii) | \( g(x_1,x_2)=x_1+x_2^2 \) |
| (iii) | \( h(x_1,x_2)=|x_1|+x_2^2 \) |
Aufgabe PA 14
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\,, & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |
Aufgabe PA 15
Es sei \( a\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende, vermöge \[ f(x,y) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}\,xy & \mbox{falls}\ (x,y)\not=(0,0) \\[2ex] a, & \mbox{falls}\ (x,y)=(0,0) \end{array} \right. \] gegebene Funktion zwischen den normierten Räumen \( (\mathbb R^2,\|\cdot\|_2) \) und \( (\mathbb R,|\cdot|). \)
| (i) | Begründen Sie, dass \( f \) in jedem Punkt \( (x,y)\in\mathbb R^2\setminus{(0,0)} \) stetig ist. |
| (ii) | Lässt sich ein \( a\in\mathbb R \) derart bestimmen, dass \( f \) auch in \( (0,0) \) stetig ist? Begründen Sie, und geben Sie ggf. ein solches \( a \) an. |