Präsenzblatt 5

---

 

Aufgabe PA 16

 

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=t\cos t,\quad y(t):=t\sin t,\quad t\gt 0, \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

 

(i)	Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii)	Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Aufgabe PA 17

 

Betrachten Sie folgende Parametrisierung der Huygenschen Kreisinvolute \[ c(t)=(\cos t+t\sin t,\sin t-t\cos t),\quad t\gt 0. \]

(i)	Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii)	Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Aufgabe PA 18

 

Die Neilsche Parabel ist die Menge \[ \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^3-y^2=0\}\subset\mathbb R^2\,. \]

(i)	Skizzieren Sie die Neilsche Parabel.
(ii)	Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung

\[ c(t)=(t^2,t^3),\quad t\in\mathbb R, \]

	der algebraischen Definition der Neilschen Parabel genügt.
(iii)	Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iv)	Beweisen Sie, dass es keine reguläre Parametrisierung der Form

\[ c(t)=(x(t),y(t))\in C^2(\mathbb R,\mathbb R^2) \quad\mbox{mit}\quad x(0)=y(0)=0 \]

der Neilschen Parabel gibt. Beachten Sie dabei die Bedingung \( C^2(\mathbb R,\mathbb R^2). \)

 

Aufgabe PA 19

 

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[f(u,v)=(u,v,u^2+v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i)	Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii)	Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii)	Ermitteln Sie die Tangentialebene

\[ T_f(u,v):=\mbox{Span}\,\{f_u(u,v),f_v(u,v)\}\,,\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

	der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv)	Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Aufgabe PA 20

 

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i)	Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii)	Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii)	Ermitteln Sie die Tangentialebene im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)

(iv)	Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung?