Präsenzblatt 6
Aufgabe PA 21
Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktionen \( f,g,h\colon\mathbb R^3\to\mathbb R, \) und werten Sie die Gradienten jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus:
| (i) | \( \displaystyle f(x,y,z):=x^3y-\cosh(yz^2)+e^{xyz} \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1) \) |
| (ii) | \( \displaystyle g(x,y,z):=\sqrt{1+x^2+y^2}-\ln(1+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1) \) |
| (iii) | \( \displaystyle h(x,y,z):=x^2\sin(y^2+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0)=(1,2,3) \) |
Aufgabe PA 22
Berechnen Sie die Richtungsableitung der Funktion \[ f\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R \quad\text{vermöge}\quad f(x,y):=xy+ye^x \] im Punkt \( (x_0,y_0)=(1,2) \) in Richtung \( v=\frac{1}{\sqrt{13}}\,(2,3). \)
Aufgabe PA 23
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=x^2y,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \] Zeigen Sie unter Zurückführung auf die Definition aus der Vorlesung, dass \( f(x,y) \) in jedem Punkt \( (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 \) vollständig differenzierbar ist.
Aufgabe PA 24
Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^2 \) offen und \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) eine Funktion. Mit einem \( \varepsilon\gt 0 \) sei ferner \[ c\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\longrightarrow\Omega \quad\mbox{vermöge}\quad c(t)=(x(t),y(t)),\ t\in(-\varepsilon,\varepsilon), \] eine reguläre Kurvenparametrisierung, deren Bild folgende Eigenschaften besitze \[ f\circ c(t)=C,\quad t\in(-\varepsilon,\varepsilon). \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \nabla f(x_0,y_0)\perp c'(0) \] mit \( (x_0,y_0):=c(0), \) d.h. der Gradient steht senkrecht auf der Niveaukurve.