Präsenzblatt 7

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Aufgabe PA 25

 

Betrachten Sie die Funktion \[ V(x,y,z):=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,,\quad(x,y,z)\in\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)}\,. \]

(i)	Berechnen Sie sämtliche partiellen Ableitungen erster Ordnung in \( \mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)}. \)
(ii)	Berechnen Sie sämtliche partiellen Ableitungen erster Ordnung in \( \mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)}. \) Vertauschen die partiellen Ableitungen?
(iii)	Verifizieren Sie

\[ \langle(x,y,z),\nabla V(x,y,z)\rangle=-V(x,y,z)\quad\mbox{in}\ \mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\,. \]

(iv)	Verifizieren Sie schließlich

\[ \Delta V:=V_{xx}+V_{yy}+V_{zz}=0\quad\mbox{in}\ \mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\,. \]

 

Aufgabe PA 26

 

Mit Funktionen \( u,v\in C^2(\mathbb R^2,\mathbb R) \) betrachten wir die komplexwertige Abbildung \[ f(x,y):=u(x,y)+iv(x,y),\quad(x,y)\in\mathbb C. \] Ferner sei \( f \) holomorph, d.h. es gelten die folgenden Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen \[ u_x(x,y)=v_y(x,y),\quad u_y(x,y)=-v_x(x,y) \quad\text{in}\ \mathbb R^2\,. \] Beweisen Sie, dass dann \( u \) und \( v \) harmonisch in \( \mathbb R^2 \) sind.

 

Aufgabe PA 27

 

(i)	Es sei \( f\in C^2(\mathbb R^2,\mathbb R). \) Wie lauten die Differentiale

\[ df(x,y;h_1,h_2) \quad\text{und}\quad d^2f(x,y;h_1,h_2). \]

(ii)	Es sei \( g\in C^2(\mathbb R^3,\mathbb R). \) Wie lauten die Differentiale

\[ dg(x,y,z;h_1,h_2,h_3) \quad\text{und}\quad d^2g(x,y,z;h_1,h_2,h_3). \]

 

Aufgabe PA 28

 

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades \( T_2f(x,y;x_0,y_0) \) der Funktion \[ f(x,y):=\cos(xy)+xe^{y-1}\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] an der Entwicklungsstelle \( (x_0,y_0)=(\pi,1). \)

 

Aufgabe PA 29

 

Entwickeln Sie das Polynom \[ f(x,y):=x^3+xy^2+y^3\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] nach dem Taylorschen Satz

 

(i)	an der Entwicklungsstelle \( (x_0,y_0)=(0,0), \)
(ii)	an der Entwicklungsstelle \( (x_0,y_0)=(1,2). \)