Präsenzblatt 8

Aufgabe PA 30

Mit natürlichen Zahlen \( m,n\in\mathbb N \) betrachten wir die Funktion \[ f(x,y):=mx^2+ny^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R. \] Begründen Sie, dass \( f \) in \( (x_0,y_0)=(0,0) \) ein globales Minimum besitzt.

Aufgabe PA 31

Bestimmen Sie sämtliche kritischen Punkte der Funktion \[ f(x,y):=\sin x\cdot\sin y,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]

Aufgabe PA 32

Betrachten Sie die Funktion \[ f(x,y):=xy-3xy^3+x^3\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]

Aufgabe PA 33

Untersuchen Sie die Funktion \[ f(x,y):=(x^2+y^2)e^{-x^2-y^2}\,,\quad (x,y)\in\ \Omega:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le\frac{1}{4}\right\}, \] auf lokale und globale Extrema.