Präsenzblatt 9
Aufgabe PA 34
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=x+\sin x,\quad x\in\mathbb R. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung. |
| (ii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iii) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=-2. \]
Aufgabe PA 35
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=-2y. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung vermittels der Methode der Trennung der Variablen. (In HA 45, siehe auch PA 36, beweisen wir, dass damit tatsächlich alle Lösungen gefunden sind.) |
| (ii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iii) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=1. \]
Aufgabe PA 36
Wir betrachten die Differentialgleichung \[ y'=-2xy. \]
| (i) | Bestimmen Sie alle Lösungen dieser Gleichung. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass damit tatsächlich alle Lösungen der Gleichungen bestimmt sind. Werten Sie dazu das Produkt \( \Phi(x)e^{x^2} \) aus mit einer beliebigen Lösung \( \Phi(x). \) |
| (iii) | Skizzieren Sie ausgewählte Lösungskurven. |
| (iv) | Bestimmen Sie die (einzige) Lösung dieser Gleichung zum Anfangswert |
\[ y(0)=3. \]