Abschnitt 3.2: Ein dritter Zugang zum Lebesgueintegral
Aufgabe 1
Skizzieren Sie die einfache Funktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{4}\,, & \displaystyle 0\le x\lt\frac{1}{4} \\[1.2ex] \displaystyle\frac{1}{2}\,, & \displaystyle \frac{1}{4}\le x\lt\frac{3}{4} \\[1.2ex] \displaystyle\frac{3}{4}\,, & \displaystyle \frac{3}{4}\le x\lt 1 \end{array} \right., \] und berechnen Sie ihr Lebesgueintegral \[ \int\limits_0^1f(x)\,d\ell_n(x). \]
→ Lösung
Aufgabe 2
Wir betrachten die Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R, \) gegeben durch \[ f(x):=(1-x^2)\chi_\Omega(x),\quad\Omega:=\{x\in\mathbb R\,:\,|x|\le 1\}\,, \] sowie die Funktionenfolge \[ \varphi^{(k)}(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{j-1}{2^k}\,, & \displaystyle\frac{j-1}{2^k}\le 1-x^2\lt\frac{j}{2^k}\ \text{für}\ j=1,\ldots,2^k \\[0.6ex] 1, & x=0 \\[0.6ex] 0, & |x|\gt 1 \end{array} \right. \]
| (i) | Skizzieren Sie \( \varphi^{(1)}, \) \( \varphi^{(2)} \) und \( \varphi^{(3)} \) - zusammen mit \( f \) - jeweils in ein eigenes Koordinatensystem. |
| (ii) | Verifizieren Sie |
\[ |f(x)-\varphi^{(k)}(x)|\le\frac{1}{2^k}\,,\quad x\in\mathbb R. \]
| Approximiert die Folge \( \{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) die Funktion \( f? \) |
→ Lösung
Aufgabe 3
Auf der Lebesguemessbaren Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) seien mit den üblichen Setzungen \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Mc_i\chi_{\Omega_i}(x),\quad \psi(x)=\sum_{j=1}^Nd_j\chi_{\Theta_j}(x) \] zwei nichtnegative, Lebesguemessbare, einfache Funktionen. Beweisen Sie:
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(i)
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\( \displaystyle\int\limits_\Omega\lambda\varphi\,d\ell_n(x)=\lambda\int\limits_\Omega\varphi\,d\ell_n(x) \) für \( \lambda\in\mathbb R \) |
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(ii)
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\( \displaystyle\int\limits_\Omega\varphi\,d\ell_n(x)\ge 0 \) |
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(iii)
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\( \displaystyle\int\limits_\Omega(\varphi+\psi)\,d\ell_n(x)=\int\limits_\Omega\varphi\,d\ell_n(x)+\int\limits_\Omega\psi\,d\ell_n(x) \) |
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(iv)
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\( \displaystyle\int\limits_\Omega\varphi\,d\ell_n(x)\le\int\limits_\Omega\psi\,d\ell_n(x), \) falls \( \varphi\le\psi \) punktweise in \( \Omega \) |
→ Lösung