Abschnitt 1.5: Sigma-Algebren

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Aufgabe 1

 

Ist das Mengensystem \[ {\mathcal A}:=\left\{\emptyset,\left[0,\frac{1}{3}\right],\left(\frac{1}{3},1\right],\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right),\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right]\right\} \] eine \( \sigma \)-Algebra auf \( [0,1]? \) Begründen Sie.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 2

 

Ist das Mengensystem \[ {\mathcal A}:=\{\emptyset,\{1\},\mathbb R\setminus\{1\},\mathbb R\} \] eine \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb R? \) Begründen Sie.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n. \) Ist das Mengensystem \[ {\mathcal A}:=\{\emptyset,\Omega,\Omega^c,\mathbb R^n\} \] eine \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb R? \) Begründen Sie.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 4

 

Ist das Mengensystem \[ {\mathcal A}:=\{A\subseteq\mathbb N\,:\,A\ \text{endlich oder}\ A^c\ \text{endlich}\} \] eine \( \sigma \)-Algebra auf \( \mathbb N? \) Begründen Sie.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 5

 

Es sei \( \Omega\not=\emptyset. \) Ist das Mengensystem \[ {\mathcal A}:=\{A\subseteq\Omega\,:\,A\ \text{abzählbar oder}\ A^c\ \text{abzählbar}\} \] eine \( \sigma \)-Algebra auf \( \Omega? \) Begründen Sie.

 

→  Lösung