Abschnitt 1.6: Approximation Lebesguemessbarer Mengen
Approximationssatz für Mengen
Sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine beliebige Menge. Dann sind äquivalent:
| (i) | \( \Omega \) ist Lebesguemessbar im Caratheodoryschen Sinn. |
| (ii) | Zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert eine offene Menge \( \Sigma\supseteq\Omega \) mit |
\[ \ell_n^*(\Sigma\setminus\Omega)<\varepsilon. \]
| (iii) | Zu beliebigem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert eine abgeschlossene Menge \( \Theta\subseteq\Omega \) mit |
\[ \ell_n^*(\Omega\setminus\Theta)\lt\varepsilon. \]
Aufgabe 1
Geben Sie ein Beispiel für die Aussage (ii) des Approximationssatzes.
→ Lösung
Aufgabe 2
Geben Sie ein Beispiel für die Aussage (iii) des Approximationssatzes.
→ Lösung