Abschnitt 3.3: Eigenschaften des Lebesgueintegrals

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Aufgabe 1

 

Es bezeichne \( \chi_D \) die auf \( [0,1]\subset\mathbb R \) gegebene Dirichletsche Sprungfunktion. Ermitteln Sie durch Anwenden des Satzes von der monotonen Konvergenz den Wert des Integrals \[ \int\limits_{[0,1]}\chi_D(x)\,d\ell_1(x) \] durch punktweise Approximation von \( \chi_D \) durch eine geeignete Folge nichtnegativer, monoton wachsender und Lebesguemessbarer Funktionen \( f^{(k)}, \) \( k=1,2,\ldots \)

 

→  Lösung

 

Aufgabe 2

 

Ermitteln Sie durch Anwenden des Satzes von der monotonen Konvergenz den Grenzwert \[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,1]}(1-x^k)\,d\ell_1(x). \]

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Ermitteln Sie durch Anwenden des Satzes von der monotonen Konvergenz den Grenzwert \[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,1]}\left(1+\frac{x}{k}\right)^ke^{-x}\,d\ell_n(x). \]

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 4

 

Auf der Lebesguemessbaren Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sei vermittels \( f^{(k)}, \) \( k=1,2,\ldots, \) eine Folge nichtnegativer, Lebesguemessbarer Funktionen gegeben. Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \int\limits_\Omega\sum_{k=1}^\infty f^{(k)}(x)\,d\ell_n(x)=\sum_{k=1}^\infty\int\limits_\Omega f^{(k)}(x)\,d\ell_n(x). \]

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 5

 

Betrachten Sie die durch \[ f^{(k)}(x):=k\cdot\chi_{[0,\frac{1}{k}]}\,,\quad x\in[0,1]. \] Dürfen Sie den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden? Begründen Sie.

 

→  Lösung