Abschnitt 4.3: Die Transformationsformel

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Aufgabe 1

 

Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}(\Phi) \) der von der Abbildung \[ \Phi(x):=R(\cos x,\sin x),\quad x\in[0,2\pi],\ R>0, \] erzeugten Kurve im \( \mathbb R^2. \) Um welche Kurve handelt es sich? Skizzieren Sie.

 

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Aufgabe 2

 

Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}(\Phi) \) der von der Abbildung \[ \Phi(x):=(e^x\cos(2\pi x),e^x\sin(2\pi x)),\quad x\in[0,2\pi], \] gegebenen logarithmischen Spirale im \( \mathbb R^2. \) Skizzieren Sie.

 

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Aufgabe 3

 

Berechnen Sie den Inhalt \[ A:=\int\limits_B1\,d\ell_2(x,y) \] der zweidimensionalen Kreisscheibe \[ B_R:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le R^2\}\,. \] Führen Sie dazu Polarkoordinaten \[ x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi \] auf einem geeigneten Parameterbereich \( U\subset\mathbb R^2 \) ein, und verwenden Sie die Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 4

 

Berechnen Sie das Volumen \[ V:=\int\limits_B1\,d\ell_3(x,y,z) \] des dreidimensionalen Balls \[ B_R:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2+z^2\le R^2\}\,. \] Führen Sie dazu Kugelkoordinaten \[ x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z=r\cos\vartheta \] auf einem geeigneten Parameterbereich \( U\subset\mathbb R^3 \) ein, und verwenden Sie die Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 5

 

Es sei der Funktionsgraph \( \Phi(x,y)=(x,y,\varphi(x,y)) \) gegeben mit der Funktion \[ \varphi(x,y):=xy,\quad (x,y)\in\Omega:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le 1\}\,. \] Berechnen Sie den Inhalt \( {\mathcal A}(\Phi) \) der so durch \( \Phi \) im Raum \( \mathbb R^3 \) erzeugten Sattelfläche. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 6

 

Verifizieren Sie: Im Fall \[ \Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad(u,v)\in\Omega\subseteq\mathbb R^2\,, \] mit den Koordinatenabbildungen \( x,y,z\in C^1(\Omega,\mathbb R) \) gilt für den Inhalt der durch \( \Phi \) erzeugten Fläche im \( \mathbb R^3 \) \[ A(\Phi(\Omega))=\int\limits_\Omega|\Phi_u(u,v)\times\Phi_v(u,v)|\,d\ell_2(u,v) \] mit dem gewöhnlichen Kreuzprodukt \( a\times b \) zweiter Vektoren \( a,b\in\mathbb R^3. \)

 

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Aufgabe 7

 

Anschließend an vorige Aufgabe, sei nun speziell \[ \Phi(u,v)=(\sin u,\cos u,v),\quad (u,v)\in\Omega:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,0\le u\le 2\pi,\ -h\le v\le h\}\,. \] Berechnen Sie den Inhalt \( A(\Phi(\Omega)) \) von \( \Phi \) erzeugten Zylinderfläche. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 8

Es sei \( S\subset\mathbb R^2 \) ein Sektor, der von zwei Strahlen \( \varphi=\alpha \) und \( \varphi=\beta \) und einer in Polarkoordinaten durch \( r=R(\varphi), \) \( \alpha\le\varphi\le\beta\le 2\pi, \) gegebenen Kurve berandet wird (siehe Skizze unten).

 

(i)	Beweisen Sie, dass für den Inhalt \( A(S) \) dieses Sektors gilt

\[ A(S)=\int\limits_S1\,d\ell_2(x,y) =\int\limits_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}\left(\ \int\limits_{r=0}^{r=R(\varphi)}r\,dr\right) =\frac{1}{2}\,\int\limits_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}R(\varphi)^2\,d\varphi. \]

(ii)	Bestimmen Sie den Flächeninhalt des \( 3 \)-blättrigen Kleeblatts

\[ R(\varphi)=\left|\,\sin\frac{3\varphi}{2}\right|,\quad 0\le\varphi\le 2\pi. \]

 

Skizzieren Sie.