Wiederholungsfragen

Kapitel 1: Metrische Räume

1.	Was versteht man unter einer Metrik?
2.	Was versteht man unter einem metrischen Raum?
3.	Wie ist die Euklidische Metrik im \( \mathbb R^n \) definiert?
4.	Was versteht man unter einer Relativmetrik?
5.	Was versteht man unter einer Produktmetrik?
6.	Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) offen?
7.	Wie lautet die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit?
8.	Wie lautet die Definition der Folgenstetigkeit?
9.	Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium?
10.	Wann heißt ein metrischer Raum separabel?

Kapitel 2: Kompakte Mengen

1.	Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) kompakt?
2.	Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) folgenkompakt?
3.	Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) präkompakt?
4.	In welcher Beziehung stehen diese drei Begriffe?
5.	Wie lautet der Satz von Heine-Borel?
6.	Wie lautet der klassische Satz von Heine-Borel?
7.	Welchen Zusammenhang zwischen Präkompaktheit und Teilfolgenkonvergenz kennen Sie?
8.	Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstra\ss{}?

Kapitel 3: Normierte Räume

1.	Was versteht man unter einer Norm?
2.	Was versteht man unter einem normierten Raum?
3.	Wie ist die Euklidische Norm im \( \mathbb R^n \) definiert?
4.	Wann heißen zwei Normen äquivalent?
5.	Sind sämtliche Normen im \( \mathbb R^n \) äquivalent?
6.	Was versteht man unter einem Banachraum?
7.	Wie lautet das Lemma von Riesz?
8.	Wie lautet der Kompaktheitssatz von Riesz?

Kapitel 4: Folgenräume

1.	Wie haben wir die Räume \( \ell_p \) und \( \ell_\infty \) eingeführt?
2.	Mit welcher Norm wird \( \ell_p \) für \( 1\le p\lt\infty \) zu einem normierten Raum?
3.	Mit welcher Norm wird \( \ell_\infty \) zu einem normierten Raum?
4.	Wie lautet die Youngsche Ungleichung?
5.	Wie lautet die Höldersche Ungleichung?
6.	Wie lautet die Minkowskiungleichung?
7.	Welche besondere Rolle spielt hier die Minkowskiungleichung?
8.	Sind die Räume \( (\ell_p,\\|\cdot\\|_p) \) für \( 1\le p\lt\infty \) Banachräume?
9.	Ist der Raum \( (\ell_\infty,\\|\cdot\\|_\infty) \) ein Banachraum?
10.	Sind die Räume \( (\ell_p,\\|\cdot\\|_p) \) für \( 1\le p\lt\infty \) separabel?
11.	Ist der Raum \( (\ell_\infty,\\|\cdot\\|_\infty) \) separabel?

Kapitel 5: Funktionenräume

1.	Mit welcher Norm wird \( B(X) \) zum Banachraum?
2.	Mit welcher Norm wird \( C^0(K) \) zum Banachraum?
3.	Mit welcher Norm wird \( C_b(X) \) zum Banachraum?
4.	Wann heißt eine Funktionenmenge gleichmäßig beschränkt?
5.	Wann heißt eine Funktionenmenge gleichgradig stetig?
6.	Wie lautet der Satz von Arzela-Ascoli?
7.	Ist der Raum \( C^0(K) \) separabel?

Kapitel 6: Hilberträume

1.	Wie haben wir ein Skalarprodukt auf einem \( \mathbb R \)-Vektorraum definiert?
2.	Wie haben wir ein Skalarprodukt auf einem \( \mathbb C \)-Vektorraum definiert?
3.	Wie gewinnt man aus einem Skalarprodukt eine Norm?
4.	Erläutern Sie den vorigen Punkt am Euklidischen Skalarprodukt.
5.	Wie lautet die Polarisationsformel?
6.	Beweisen Sie die Polarisationsformel.
7.	Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung?
8.	Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
9.	Was versteht man unter einem Prähilbertraum?
10.	Was versteht man unter einem Hilbertraum?
11.	Wie lautet die Parallelogrammgleichung?
12.	Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung.
13.	Wie charakterisiert die Parallelogrammgleichung Prähilberträume?

Kapitel 7: Orthonormierte Systeme

1.	Wann heißen \( x,y\in H \) orthogonal?
2.	Wann heißt \( x\in H \) normiert?
3.	Wie lauten die klassischen Orthogonalitätsrelationen für die Winkelfunktionen?
4.	Was versteht man unter den Fourierkoeffizienten?
5.	Wie lautet die Besselsche Ungleichung?
6.	Wie lautet die Parsevalsche Gleichung?
7.	Wann heißt ein orthonormiertes System vollständig?
8.	Welche Charakterisierung vollständiger Systeme haben kennengelernt?
9.	Existieren vollständige orthonormierte Systeme?

Kapitel 8: Lineare Operatoren

1.	Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) linear?
2.	Wie ist der Kern eines Operators definiert?
3.	Wie ist das Bild eines Operators definiert?
4.	Was verstehen wir unter dem Graphen eines Operators?
5.	Welche Beispiele von linearen Operatoren haben wir in der Vorlesung kennengelernt?
6.	Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) stetig in \( x\in X? \)
7.	Wann heißt ein Operator \( T\colon X\to Y \) beschränkt?
8.	Was verstehen wir unter der Menge \( L(X,Y)? \)
9.	In welchem Zusammenhang stehen die Begriffe Stetigkeit und Beschränktheit für lineare Operatoren?
10.	Warum impliziert Stetigkeit die Beschränktheit einen linearen Operators?
11.	Sind lineare Operatoren zwischen endlichdimensionalen, normieren Räumen stetig?
12.	Geben Sie von dieser letzten Aussage einen Beweis.
13.	Wie ist die Norm eines linearen Operators definiert?
14.	Bildet \( L(X,Y) \) einen normierten Raum?
15.	Was versteht man unter der Submultiplikativität der Operatornorm?
16.	Was können Sie über die Vollständigkeit von \( L(X,Y) \) aussagen?

Kapitel 9: Projektionen

1.	Wie lautet der Projektionssatz?
2.	Was verstehen wir unter der Projektion von \( P_C \) von \( H \) auf eine nichtleere, konvexe und abgeschlossene Menge \( C? \)
3.	Wie läßt sich die Projektion durch das Skalarprodukt charakterisieren?
4.	Wie lautet diese Charakterisierung, falls \( C \) einen einen abgeschlossenen Unterraum \( U \) darstellt?
5.	Wie ist das orthogonale Komplement \( A^\perp \) einer Teilmenge \( A\subseteq H \) definiert??
6.	Welche Eigenschaften hat die Projektionsabbildung \( P_U? \)
7.	Welches Resultat aus Kapitel 7 haben wir an dieser Stelle neu bewiesen?

Kapitel 10: Darstellungssätze

1.	Wie lautet der Rieszsche Darstellungssatz?
2.	Wie lautet der Satz von Lax-Milgram?
3.	Auf welches Problem haben wir diese Sätze angewandt?

Kapitel 11: Schwache Konvergenz

1.	Was bedeutet Konvergenz in der Norm für die Konvergenz im Skalarprodukt?
2.	Beweisen Sie diese Aussage.
3.	Was versteht man unter schwacher Konvergenz in einem Hilbertraum?
4.	Folgt aus der Konvergenz im Skalarprodukt die Konvergenz in der Norm?
5.	Welchen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Konvergenzarten haben wir bewiesen?
6.	Ist der schwache Grenzwert eindeutig?
7.	Beweisen Sie diese Aussage.
9.	Wie lautet der Hilbertsche Auswahlsatz?

Kapitel 12: Sätze der Funktionalanalysis

1.	Wann heißt eine Menge nirgends dicht?
2.	Wann heißt eine Menge von erster Kategorie?
3.	Wann heißt eine Menge von zweiter Kategorie?
4.	Wie lautet der Bairesche Kategoriesatz?
5.	Wie lautet das Prinzip der gleichmäßen Beschränktheit?
6.	Wie lautet der Satz von Banach-Steinhaus?
7.	Was besagt der Satz von der offenen Abbildung?
8.	Was besagt der Satz von der stetigen Inversen?
9.	Was versteht man unter dem Graphen einer Abbildung?
10.	Wann heißt ein lineares Funktional abgeschlossen?
11.	Wie lautet der Satz vom abgeschlossenen Graphen?
12.	Wie lautet der Satz von Hellinger-Toeplitz?
14.	Können Sie diesen Satz beweisen?

Kapitel 13: Der Satz von Hahn-Banach

1.	Was versteht man unter dem Dualraum eines Vektorraumes \( V? \)
2.	Mit welcher Norm statten wir die Elemente des Dualraumes aus?
3.	Was versteht man unter der dualen Paarung?
4.	Was ist der Dualraum von \( \ell_p \) für \( 1\le p\lt\infty? \) Erläutern Sie kurz.
5.	Wie lautet der Satz von Hahn-Banach?
6.	Wie lautet der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach?
7.	Erläutern Sie den wesentlichen Unterschied in der Formulierung dieser Sätze.
8.	Welche Voraussetzung im zweiten Satz realisiert die Voraussetzung der Existenz eines sublinearen, majorisierenden Funktionals im ersten Satz?
9.	Erläutern Sie das Zornsche Lemma oder eine hierzu äquivalente, mengentheoretische Aussage.
10.	Welche Folgerung haben wir aus dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach gezogen?
11.	Erläutern Sie die inhaltliche Bedeutung von Trennen von Punkten.