Aufgaben Das Maßproblem
Aufgabe (Beispiel zur Inhaltsberechnung)
Wir betrachten die Mengen \[ \Omega_N:=\bigcup_{k=1}^N\left[\frac{1}{2^k}\,,\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}\right],\quad N\in\mathbb N, \] sowie \[ \Omega:=\lim_{N\to\infty}\Omega_N=\bigcup_{k=1}^\infty\left[\frac{1}{2^k}\,,\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}\right]. \]
| (i) | Skizzieren Sie \( \Omega_N \) für \( N=1,2,3,4. \) |
| (ii) | Berechnen Sie die Inhalte |
\[ \mu(\Omega_N)=\int\limits_{\Omega_N}\chi_{\Omega_N}(x)\,dx,\quad N=1,2,\ldots, \]
| sowie den Grenzwert |
\[ \mu(\Omega):=\lim_{N\to\infty}\mu(\Omega_N). \]
Aufgabe (Nirgends Stetigkeit der Dirichletschen Sprungfunktion)
Beweisen Sie, dass die Dirichletsche Sprungfunktion \[ \chi_D(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \quad\text{falls}\ x\in[0,1]\cap\mathbb Q \\[0.8ex] 0, & \quad\text{falls}\ x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right. \] in keinem Punkt \( x\in[0,1] \) stetig ist.
Aufgabe (Nicht-Riemannintegrierbarkeit der Dirichletschen Sprungfunktionen
Beweisen Sie, dass die Dirichletsche Sprungfunktion aus der vorigen Aufgaben nicht Riemannintegrierbar über \( [0,1] \) ist.