Aufgaben Mengenlehre

Charakterisierung von Mengen

Aufgabe (Elemente von Mengen)

Bestimmen Sie die Elemente der folgenden Mengen.

Hierin bedeuten \( \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) die Menge der natürlichen und \( \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \) die Menge der ganzen Zahlen.

Aufgabe (Charakterisierende Eigenschaften von Mengen)

Finden Sie für folgende Mengen jeweils eine charakterisierende Eigenschaft.

Aufgabe (Darstellungen der leeren Mengen)

Bestimmen Sie die Elemente folgender Mengen. Welche der beiden Mengen ist leer?

Mengenrelationen und Mengenoperationen

Aufgabe (Übungen zu den Mengenoperationen)

Sei die Menge \( \Omega=\{0,1,2,3,4,5,6\} \) gegeben zusammen mit den Teilmengen \[ A=\{1,2,3\}\,,\quad B=\{2,3,4\}\,. \] Bestimmen Sie \[ \Omega\setminus A,\quad \Omega\setminus B,\quad A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. \]

Aufgabe (Kartesisches Produkt von Mengen)

Bestimmen Sie das kartesische Produkt \( M\times N \) folgender Mengen \( M \) und \( N. \)

Idempotenz, Kommutativität, Assoziativität

Aufgabe (Idempotenz des Durchschnitts)

Es sei \( A \) eine Menge. Beweisen Sie \[ A\cap A=A. \]

Aufgabe (Kommutativität des Durchschnitts)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie \[ A\cap B=B\cap A. \]

Aufgabe (Assoziativität des Durchschnitts)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) drei Mengen. Beweisen Sie \[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]

Operationen mit der leeren Menge

Aufgabe (Disjunktion und Konjunktion mit einer Kontradiktion)

Es sei \( p \) eine Aussage, und es sei \( q \) eine Kontradiktion. Beweisen Sie vermittels einer Wahrheitstabelle \[ p\vee q\equiv p,\quad p\wedge q\equiv q. \]

Aufgabe (Durchschnitt und Differenz mit der leeren Menge)

Sei \( A \) eine Menge. Beweisen Sie:

Aufgabe (Rechenregeln für das Komplement)

Es sei \( A\subseteq X \) eine Teilmenge der Obermenge \( X, \) und \( A^c \) bezeichne das Komplement von \( A \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:

Rechenregeln für Mengen

Aufgabe (Distributionsgesetz der Mengenlehre)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie \[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]

Aufgabe (Verschmelzung von Durchschnitt und Vereinigung)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (de Morgansche Regeln der Mengenlehre)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Teilmengen einer Obermenge \( X. \) Beweisen Sie:

Aufgabe (Weitere Distributivgesetze)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Differenzen von drei Mengen)

Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Gemischte Operationen)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Komplementbildung I)

Es seien \( A, \) \( B \) Teilmengen einer Obermenge \( X \) mit Komplementen bez. \( A^c, \) \( B^c \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:

Aufgabe (Komplementbildung II)

Es seien \( A, \) \( B \) Teilmengen einer Obermenge \( X \) mit Komplementen bez. \( A^c, \) \( B^c \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:

Aufgabe (Enthalten oder sogar gleich?)

Es seien \( A, \) \( B, \) \( C \) und \( D \) Mengen. Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche ist falsch? Beweisen Sie, oder geben Sie ein Gegenbeispiel.

Aufgabe (Symmetrische Differenz)

Die symmetrische Differenz zweier Mengen \( A \) und \( B \) ist definiert als \[ A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \] Beweisen Sie:

Abbildungen zwischen Mengen

Aufgabe (Injektive und surjektive Abbildungen)

Finden Sie jeweils ein Beispiel von zwei Mengen \( A, \) \( B \) und einer Abbildung \( f\colon A\to B, \) so dass:

Aufgabe (Abbilden von Teilmengen)

Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( A \) und \( B. \) Weiter seien \( M,N\subseteq A \) zwei Teilmengen von \( A \) mit der Eigenschaft \( M\subseteq N. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ f(M)\subseteq f(N). \]

Aufgabe (Assoziativität der Verkettung)

Es seien \[ f\colon A\longrightarrow B,\quad g\colon B\longrightarrow C,\quad h\colon C\longrightarrow D \] drei Abbildungen zwischen den Mengen \( A, \) \( B, \) \( C \) und \( D. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f, \] wobei wir als die Verkettung \( \circ \) von Abbildungen vereinbaren \[ \begin{array}{l} g\circ f\colon A\longrightarrow C\quad\text{vermöge} \\[0.8ex] (g\circ f)(a):=g(f(a))\quad\text{för}\ a\in A\quad\mbox{usw.} \end{array} \]

Aufgabe (Nichtkommutativität der Verkettung)

Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Verkettung zweier Abbildungen \( f\colon A\to A \) und \( g\colon A\to A \) auf einer Menge \( A \) im Allgemeinen nicht kommutativ ist, d.h. es gilt nicht \[ (f\circ g)(a)=(g\circ f)(a)\quad\text{für alle}\ a\in A. \] Geben Sie auch ein Beispiel für die Gültigkeit dieser Beziehung.

Aufgabe (Abbildung und Umkehrabbildung)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere Mengen und \( f\colon A\to B \) sowie \( g\colon B\to A \) zwei Abbildungen mit der Eigenschaft \[ g\circ f(a)=a\quad\text{für alle}\ a\in A. \] Beweisen Sie:

Aufgabe (Eigenschaften der Verkettung von Abbildungen)

Es seien \( f\colon A\to B \) und \( g\colon B\to C \) zwei Abbildungen zwischen den Mengen \( A, \) \( B \) und \( C. \) Beweisen Sie:

Aufgabe (Vereinigung, Durchschnitt und Differenz I)

Es sei \( f\colon X\to Y \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( X \) und \( Y. \) Beweisen Sie, dass für alle Teilmengen \( A,B\subseteq X \) mit \( A\cap B\not=\emptyset \) richtig sind:

Aufgabe (Injektivität und Surjektivität auf Komplementen)

Es sei \( f\colon X\to X \) eine Abbildung auf einer Obermenge \( X, \) und es sei \( A\subseteq X \) eine Teilmenge mit dem Komplement \( A^c\subseteq X \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:

Aufgabe (Verkettung einer Abbildung und ihrer Inversen)

Es sei \( f\colon X\to Y \) eine Abbildung, und es seien \( A\subseteq X \) und \( B\subseteq Y \) zwei Teilmengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Vereinigung, Durchschnitt und Differenz II)

Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den nichtleeren Mengen \( A \) und \( B. \) Seien ferner \( \Omega,\Theta\subset B \) zwei echte Teilmengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Streng monotone Funktionen sind injektiv)

Die reellwertige Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) sei streng monoton, d.h. es gilt \[ \begin{array}{ll} \text{entweder} &\quad f(x_1)\lt f(x_2)\quad\text{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R\ \text{mit}\ x_1\lt x_2 \\[0.8ex] \text{oder} &\quad f(x_1)\gt f(x_2)\quad\text{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R\ \text{mit}\ x_1\lt x_2\,. \end{array} \] Beweisen Sie, dass \( f \) injektiv ist.

Gleichmächtige Mengen

Aufgabe (Beispiel einer invertierbaren Abbildung)

Es seien \( A,B=\{1,2,3,4\} \) zwei Mengen. Die Abbildung \( f\colon A\to B \) sei gegeben vermöge \[ f(1)=4,\quad f(2)=1,\quad f(3)=3,\quad f(4)=2. \] Ist \( f \) injektiv, surjektiv und bijektiv? Bestimmen Sie auch \( f^{-1}. \)

Aufgabe (Beispiel zweier gleichmächtiger Mengen)

Beweisen Sie durch Angabe einer bijektiven Abbildung \( f\colon A\to B, \) dass die Mengen \[ A=\{1,3,4,8\}\,,\quad B=\{12,18,27,31\} \] gleichmächtig sind.

Aufgabe (Mächtigkeit von Vereinigung und kartesischem Produkt)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei endliche Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Abbildungen auf endlichen Mengen)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei endliche Mengen. Beweisen Sie:

Aufgabe (Beispiel zweier gleichmächtiger Mengen)

Beweisen Sie, dass folgende Mengen \( A \) und \( B \) gleichmächtig sind:

Aufgabe (Gleichmächtigkeit von Intervallen)

Beweisen Sie durch Angabe einer bijektiven Abbildung \( f\colon A\to B, \) dass die folgenden beiden reellen Zahlenintervalle \[ \begin{array}{l} A:=[1,2]=\{x\in\mathbb R\,:\,1\le x\le 2\}\,, \\[0.8ex] B:=[17,23]=\{x\in\mathbb R\,:\,17\le x\le 23\} \end{array} \] gleichmächtig sind.

Die Potenzmenge

Aufgabe (Potenzmengen endlicher Mengen)

Bestimmen Sie die Potenzmengen folgender Mengen \( M: \)

Aufgabe (Potenzmenge auf Vereinigung und Durchschnitt)

Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen.

\[ {\mathcal P}(A\cup B)={\mathcal P}(A)\cup{\mathcal P}(B). \]

\[ {\mathcal P}(A\cap B)={\mathcal P}(A)\cap{\mathcal P}(B). \]

Aufgabe (Mächtigkeit der Potenzmenge endlicher Mengen)

Es sei \( A \) eine endliche Menge. Beweisen Sie \[ |A|\lt{\mathcal P}(A)=2^{|A|}\,. \]

Der Satz von Cantor-Bernstein-Schröder

Aufgabe (Gleichmächtigkeit reeller Zahlenintervalle)

Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Cantor-Bernstein-Schröder, dass die folgenden reellen Zahlenintervalle \[ \begin{array}{l} (-1,1):=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\lt x\lt 1\}\,, \\[0.8ex] (-1,1]:=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\lt x\le 1\}\,, \\[0.8ex] [-1,1):=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\le x\lt 1\}\,, \\[0.8ex] [-1,1]:=\{x\in\mathbb R\,:\,-1\le x\le 1\} \end{array} \] paarweise gleichmächtig sind.

Aufgabe (Gleichmächtigkeit der geraden und ungeraden Zahlen)

Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Cantor-Bernstein-Schröder:

Aufgabe (Gleichmächtigkeit der natürlichen und ganzen Zahlen)

Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Cantor-Bernstein-Schröder, dass die Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb N \) und die Menge der ganzen Zahlen \( \mathbb Z \) gleichmächtig sind.

Aufgabe (Gleichmächtigkeit der natürlichen und der Quadratzahlen)

Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Cantor-Bernstein-Schröder, dass die Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb N \) und die Menge \[ M:=\{n^2\,:\,n\in\mathbb N\} \] gleichmächtig sind.

Quantoren

Aufgabe (Mathematische Aussagen mit Quantoren)

Es bedeute \( \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} \) die Menge der ganzen Zahlen. Formulieren Sie folgende Aussagen als Formeln mit Quantoren. Welche Aussagen sind wahr, welche sind falsch?

Aufgabe (Aus Peanos Axiomensystem der natürlichen Zahlen)

Es bedeute \( \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) die Menge der natürlichen Zahlen. Formulieren Sie folgende Axiome für \( \mathbb N \) als Formeln mit Quantoren.

Aufgabe (Umschreiben von Formeln in Worten)

Schreiben Sie die folgenden Formeln in eigenen Worten um.

Aufgabe (Negieren von Formeln)

Negieren Sie die folgende Definition der Stetigkeit einer Funktion \( f\colon\Omega\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in\Omega: \) \[ \forall\varepsilon\gt 0\,\exists\delta\gt 0\,\forall x\in\Omega\,(|x-x_0|\lt\delta\to|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon). \]