Aufgaben Natürliche Zahlen
Aufgabe (Anwenden der algebraischen Axiomen I)
Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen Axiome \[ m\cdot 1=m\quad\text{für alle}\ m\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Anwenden der algebraischen Axiomen II)
Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen Axiome \[ (m+n)\ell=m\ell+n\ell\quad\text{für alle}\ \ell,m,n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Linearkombination von Vielfachen)
Es seien \( a,b\in\mathbb N \) Vielfache von \( n\in\mathbb N, \) d.h. es existierten \( r,s\in\mathbb N \) mit \[ a=rn,\quad b=sn. \] Beweisen Sie, dass dann auch \( xa+yb \) ein Vielfaches von \( n \) ist für beliebige \( x,y\in\mathbb N. \)
Aufgabe (Summe vier aufeinander folgender Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Summe von vier aufeinander folgenden natürlichen Zahlen eine gerade Zahl, d.h. ein Vielfaches von \( 2 \) ist.
Aufgabe (Eine Darstellung gerader Zahlen)
Beweisen Sie, dass der Ausdruck \[ n^2+n \] für jede natürliche Zahl \( n\in\mathbb n \) eine gerade Zahl ist. Betrachten Sie dabei die Fälle, wenn \( n \) gerade oder ungerade ist, separat. Finden Sie ferner ein quadratisches Polynom \[ p(n)=an^2+bn+c \] mit geeignet gewählten \( a,b,c\in\mathbb N, \) so dass \( p(n) \) ungerade ist für alle \( n\in\mathbb N. \)
Aufgabe (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation)
Beweisen Sie: Sind \( 1,1'\in\mathbb N \) zwei neutrale Elemente der Multiplikation in \( \mathbb N, \) so folgt notwendig \( 1=1'. \)
Aufgabe (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition)
Beweisen Sie: Sind \( 0,0'\in\mathbb N_0 \) zwei neutrale Elemente der Addition in \( \mathbb N_0, \) so folgt notwendig \( 0=0'. \)
Aufgabe (Transitivität der Ordnungsrelation)
Es seien \( a,b,c\in\mathbb N \) mit \( a\lt b \) und \( b\lt c. \) Beweisen Sie \( a\lt c. \)
Aufgabe (Invarianz der Ordnungsrelation nach Addition)
Es seien \( m,n\in\mathbb N \) mit \( m\lt n. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ m+r\lt n+r\quad\text{für alle}\ r\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Invarianz der Ordnungsrelation nach Addition)
Es seien \( m,n,x\in\mathbb N\) mit \( m+x=n+x. \) Beweisen Sie \( m=n. \)
Aufgabe (Invarianz der Ordnungsrelation nach Multiplikation)
Es seien \( m,n,z\in\mathbb N\) mit \( m\lt n \) und \( z\gt 0. \) Beweisen Sie \( mz\lt nz. \)
Aufgabe (Eindeutigkeit des Vorgängers)
Es seien \( x,y\in\mathbb N\) Vorgänger der Zahl \( m\in\mathbb N, \) \( n\not=1. \) Beweisen Sie \( m=n. \)
Aufgabe (Dirichletsches Schubfachprinzip)
Beweisen Sie: Es sei \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl. Hat man nun \( n+1 \) Objekte in \( n \) Schubfächern verteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach, in dem zwei oder mehr Objekte liegen.
Aufgabe (Vergleich von Summe und Produkt von zwei Zahlen)
Welche natürlichen Zahlen \( m,n\in\mathbb N \) genügen einer der folgenden der Eigenschaften:
| (i) | \( m+n=m\cdot n \) |
| (ii) | \( m+n\le m\cdot n \) |
Aufgabe (Vergleich von Summe und Produkt von drei Zahlen)
Die Summe und das Produkt der drei Zahlen \( 1, \) \( 2, \) \( 3 \) sind gleich, d.h. es gilt \[ 1+2+3=1\cdot 2\cdot 3. \] Beweisen Sie, dass es kein weiteres Beispiel von drei Zahlen \( n_1,n_2,n_3\in\mathbb N \) gibt mit folgenden beiden Eigenschaften:
| \( \circ \) | \( 1\le n_1\le n_2\le n_3 \) |
| \( \circ \) | \( n_1+n_2+n_3=n_1\cdot n_2\cdot n_3 \) |
Aufgabe (Vergleich von Summe und Produkt von fünf Zahlen)
Die Summe und das Produkt der fünf Zahlen \( 1, \) \( 1, \) \( 1, \) \( 2, \) \( 5 \) sind gleich, d.h. es gilt \[ 1+1+1+2+5=1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 5. \]
| (i) | Finden Sie zwei weitere Beispiele von jeweils fünf natürlichen Zahlen \( n_1,\ldots,n_5, \) so dass | ||||
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| (ii) | Gibt es weitere solcher Beispiele? Begründen Sie. |
Aufgabe (Schwache und starke Induktion)
Das Prinzip der vollständigen Induktion wird auch als Prinzip der schwachen Induktion bezeichnet, neben dem auch folgendes Prinzip der starken Induktion existiert:
| (13') | Für jedes \( n\in\mathbb N \) sei \( A_n \) eine Aussage, so dass gelten: | ||||
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| Dann gilt \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N. \) |
Beweisen Sie: Eine Aussage, die mit dem Prinzip der schwachen Induktion bewiesen werden kann, kann auch mit dem Prinzip der starken Induktion bewiesen werden und umgekehrt. Beide Beweisprinzipien sind also äquivalent.
Aufgabe (Die Zahl 1 als kleinste Zahl)
Beweisen Sie: Für jedes \( n\in\mathbb N \) gilt \( n\ge 1. \)
Aufgabe (Natürliche Zahlen zwischen natürlichen Zahlen)
Sei \( k\in\mathbb N_0. \) Beweisen Sie, dass es kein \( n\in\mathbb N_0 \) gibt mit \( k\lt n\lt k+1. \)
Aufgabe (Die Gaußsche Summenformel)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Summe der ersten ungeraden Zahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Summe der ersten geraden Zahlen)
Ermitteln Sie eine Darstellungsformel für die Summe der ersten \( n \) geraden Zahlen. Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Summe der ersten Quadratzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Summe der ersten geraden Quadratzahlen)
Ermitteln Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^n(2k)^2\,. \] Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Summe der ersten ungeraden Quadratzahlen)
Ermitteln Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^n(2k-1)^2\,. \] Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Summe der ersten Kubikzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Gaußsche Summenformel und Kubikzahlen)
Beweisen Sie die Richtigkeit der Identität \[ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Nochmals die Summe der ersten Quadratzahlen)
| (i) | Es seien \( m,n\in\mathbb N_0. \) Berechen Sie jeweils eine explizite Form für die Potenzen |
\[ (m+n)^k\quad\mbox{für}\ k=1,2,3,4,5. \]
| (ii) | Bestimmen Sie nun eine explizite Darstellungsformel für die Summe |
\[ \sum_{k=1}^nk^2\,,\quad n\in\mathbb N. \]
| Berechnen Sie dazu zunächst \( (k+1)^3-k^3 \) für \( k=1,2,\ldots,n. \) Ermitteln Sie anschließend durch geschicktes Summieren |
\[ (n+1)^3-1=3\cdot(1^2+2^2+\ldots+n^2)+3\cdot(1+2+\ldots+n). \]
Aufgabe (Nochmals die Summe der ersten Kubikzahlen)
Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^3\,,\quad n\in\mathbb N, \] vermittels der aus der vorigen Aufgabe bekannten Methode.
Aufgabe (Summe der ersten vierten Potenzen)
Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^4\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Summe der ersten Zweierpotenzen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^n2^k=2^{n+1}-1,\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Summe der ersten Dreierpotenzen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^n3^k=\frac{1}{2}\,(3^{n+1}-1),\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Summe einer allgemeinen Potenz)
Es sei \( m\ge 2 \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^nm^k=\frac{1}{m-1}\,(m^{n+1}-1),\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Abschätzung der harmonischen Summe nach unten)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge 1+\frac{n}{2}\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 3 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^3+2n \) |
| (ii) | \( 4n^3-n \) |
| (iii) | \( n^3-6n^2+14n \) |
| (iv) | \( n^3+5n+3 \) |
| (v) | \( n^4-4n^2 \) |
| (vi) | \( n^5-n \) |
| (vii) | \( 4^n-1 \) |
| (viii) | \( 13^n+2 \) |
| (ix) | \( 4^n+15n-1 \) |
| (x) | \( 10^n+2 \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 4 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 4 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 2n^2+2n \) |
| (ii) | \( 2n^2+6n-4 \) |
| (iii) | \( 5^n+7 \) |
| (iv) | \( 5^n-1 \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 5 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 5 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^5-n \) |
| (ii) | \( 2n^5+3n \) |
| (iii) | \( 3^{n+1}+2^{3n+1} \) |
| (iv) | \( 6^n-5n+4 \) |
| (v) | \( 6^{n+1}+4 \) |
| (vi) | \( 7^n-2^n \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 6 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 6 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^3-n \) |
| (ii) | \( n^3+5n \) |
| (iii) | \( 2n^3+3n^2+n \) |
| (iv) | \( 3^n-3 \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 7 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 7 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 2^{n+2}+3^{2n+1} \) |
| (ii) | \( 2^{3n}+13 \) |
| (iii) | \( 2^{3n}-1 \) |
| (iv) | \( n^7-n \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 8 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 8 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 4(n^2+n) \) |
| (ii) | \( 3^{2n}+7 \) |
| (iii) | \( 5^{2n}-3^{2n} \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 9 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 9 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \) |
| (ii) | \( 4^n+15n-1 \) |
| (iii) | \( 10^n+3\cdot 4^{n+2}+5 \) |
| (iv) | \( 10^n-1 \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 10 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ n^5-n \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 10 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 11 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 10^{2n+1}+1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 11 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 12 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 12 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 13^n-1 \) |
| (ii) | \( n^4-n^2 \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 13 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 13 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 17^n-4^n \) |
| (ii) | \( 4^{2n+1}+3^{n+2} \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 15 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3n^5+5n^3+7n \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 15 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 17 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 17 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 19 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3^{3n-2}+2^{3n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 19 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 23 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 23 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 5^{2n}-2^n \) |
| (ii) | \( 852^n-1 \) |
| (iii) | \( 2^{7n+3}+3^{2n+1}\cdot5^{4n+1} \) |
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 24 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 5^{2n}-1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 24 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 27 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 10^n+18n-28 \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 27 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 47 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 7^{2n}-2^n \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 47 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 48 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 5^{2n}+24n-1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 48 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 133 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 11^{n+2}+12^{2n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 133 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Teilbarkeit durch \( 390 \))
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ (17^n-4^n)(n^{10}+n^9+2n^8+2n^7-n^6-n^5-2n^4-2n^3) \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 390=2\cdot 3\cdot 5\cdot 13 \) ohne Rest teilbar sind.
Aufgabe (Eine Summendarstellung natürlicher Zahlen)
Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl \( n\ge 12 \) in der Form \[ s=4a+5b \] mit geeigneten \( a,b\in\mathbb N \) geschrieben werden kann.
Aufgabe (Anzahl der Teilmengen endlicher Mengen)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Beweisen Sie, dass jede \( n \)-elementige Menge genau \( 2^n \) Teilmengen besitzt.
Aufgabe (Primfaktorzerlegung)
Beweisen Sie vermittels starker Induktion: Jede natürliche Zahl \( n\gt 1 \) ist das Produkt von Primzahlen, wobei eine Primzahl selbst als Produkt von Primzahlen angesehen wird.
Aufgabe (Fibonaccizahlen)
Die Fibonaccizahlen sind wie folgt rekursiv definiert \[ F_1:=1,\quad F_2:=1,\quad F_n:=F_{n-1}+F_{n-2}\ \text{für}\ n=3,4,\ldots \] Beweisen Sie, dass für alle \( n=1,2,\ldots \) richtig sind:
| (i) | \( F_n\le F_{n+1} \) |
| (ii) | \( F_{n+1}\le 2F_n \) |
Aufgabe (Summen über Fibonaccizahlen)
Es ist zu beweisen, dass für alle \( n=1,2,\ldots \) die folgenden Aussagen richtig sind:
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_k=F_{n+2}-1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_{2k}=F_{2n+1}-1 \) |
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_k^2=F_nF_{n+1} \) |
Aufgabe (Identität von Cassini)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\quad\text{für alle}\ n=2,3,\ldots \]
Aufgabe (Zur Teilerfremdheit von Fibonaccizahlen I)
Beweisen Sie: Es existiert keine natürliche Zahl \( m\in\mathbb N, \) \( m\gt 1, \) welche zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen \( F_n \) und \( F_{n+1} \) ohne Rest teilt.
Aufgabe (Zur Teilerfremdheit von Fibonaccizahlen II)
Beweisen Sie: Es existiert keine natürliche Zahl \( m\in\mathbb N, \) \( m\gt 1, \) welche zwei Fibonaccizahlen \( F_n \) und \( F_{n+2} \) ohne Rest teilt.