Aufgaben Der Jordaninhalt
Aufgabe (Jordanmessbarkeit der leeren Menge)
Ist die leere Menge Jordanmessbar? Begründen Sie. Welchen Jordaninhalt besitzt sie?
Aufgabe (Jordanmessbarkeit der leeren Menge)
Beweisen Sie: Ist \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt mit \( \lambda^*(\Omega)=0, \) so ist \( \Omega \) Jordanmessbar.
Aufgabe (Jordanmessbarkeit isolierter Punkte)
Beweisen Sie: Ein Punkt \( \{x_0\}\subset\mathbb R^n \) stellt eine Jordansche Nullmenge dar und ist damit Jordanmessbar.
Aufgabe (Nicht-Jordanmessbarkeit der Menge der rationalen Zahlen)
Es sei \( \Omega=[0,1]\cap\mathbb Q. \) Verifizieren Sie \[ \lambda_*(\Omega)=0,\quad \lambda^*(\Omega)=1, \] und begründen Sie, dass \( \Omega \) nicht Jordanmessbar ist.
Aufgabe (Eine allgemeinere nicht Jordanmessbare Menge)
Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) die Menge aller Punkte des abgeschlossenen Quaders \( Q=[0,1]\times[0,1]\subset\mathbb R^2 \) mit rationalen Koordinaten. Zeigen Sie, dass \[ \lambda_*(\Omega)=0,\quad \lambda^*(\Omega)=1, \] und dass \( \Omega \) damit nicht Jordanmessbar ist.
Aufgabe (Nicht-Jordanmessbarkeit der Menge der irrationalen Zahlen)
Es sei \( \Theta:=[0,1]\setminus\mathbb Q. \) Verifizieren Sie \[ \lambda_*(\Theta)=0,\quad \lambda^*(\Theta)=1, \] und begründen Sie, dass \( \Theta \) nicht Jordanmessbar ist.
Aufgabe (Zusammenfassung der vorigen Aufgaben)
Wir betrachten erneut die beiden Menge \[ \Omega:=[0,1]\cap\mathbb Q,\quad \Theta:=[0,1]\setminus\mathbb Q. \] Vergleichen Sie die äußeren Jordaninhalte \( \lambda^*(\Omega) \) und \( \lambda^*(\Theta) \) mit dem äußeren Inhalt \[ \lambda^*(\Omega\cup\Theta). \] Erläutern Sie. Ist \( \lambda^* \) endlich additiv auf der Menge aller Teilmengen von \( \mathbb R? \)
Aufgabe (Jordansche Nullmengen unter Lipschitzstetigen Abbildungen)
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine Lipschitzstetige Funktion, d.h. mit einer reellen Konstante \( L\ge 0 \) gilt \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\text{für alle}\ x,y\in[a,b]. \] Sei ferner \( N\subset[a,b] \) eine Jordansche Nullmenge. Beweisen Sie, dass dann auch \( f(N) \) eine Jordansche Nullmenge ist.
Aufgabe (Jordanmessbarkeit abzählbarer Mengen)
Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt und abzählbar endlich oder abzählbar unendlich. Beweisen Sie, dass dann \( \Omega \) eine Jordansche Nullmenge darstellt oder nicht Jordanmessbar ist.
Aufgabe (Jordanmessbarkeit einer konvergenten Zahlenfolge I)
Betrachten Sie die reelle Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\text{mit}\quad x_n:=\frac{1}{n}\,,\ n=1,2,\ldots \] Beweisen Sie, dass die Menge \[ \Omega:=\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup\ldots\subset\mathbb R^2 \] eine Jordansche Nullmenge darstellt und damit Jordanmessbar ist.
Aufgabe (Jordanmessbarkeit einer konvergenten Zahlenfolge II)
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine konvergente Zahlenfolge. Beweisen Sie, dass dann \[ \Omega:=\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup\ldots\subset\mathbb R^2 \] eine Jordansche Nullmenge darstellt und damit Jordanmessbar ist.