Die einfache Funktion \( \varphi \) besitze die Darstellungen \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Kc_i\chi_{\Omega_i}(x)=\sum_{j=1}^Ld_i\chi_{\Omega_i^*}(x),\quad K,L\in\mathbb N, \] mit nichtleeren, paarweise disjunkten und Lebesguemessbaren Teilmengen \( \Omega_i \) und \( \Omega_j^*, \) so dass \[ \Omega=\bigcup_{i=1}^K\Omega_i=\bigcup_{j=1}^L\Omega_j^*\,. \] Wir führen nun die paarweise disjunkten und Lebesguemessbaren Mengen \[ \Theta_{ij}:=\Omega_i\cap\Omega_j^*\,,\quad i=1,\ldots,K,\ j=1,\ldots,L, \] ein und beachten \[ \Omega_i=\Omega_i\cap\Omega=\Omega_i\cap\bigcup_{j=1}^L\Omega_j^*=\bigcup_{j=1}^L\Theta_{ij}\,,\quad i=1,\ldots,K, \] bzw. analog \[ \Omega_j^*=\bigcup_{i=1}^K\Theta_{ij}\,,\quad j=1,\ldots,L. \] Damit haben wir die neuen Darstellungen \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Kc_i\chi_{\Omega_i}(x)=\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^Lc_i\chi_{\Theta_{ij}}(x)=\sum_{j=1}^L\sum_{i=1}^Kd_i\chi_{\Theta_{ij}}(x), \] diesmal aber in beiden Fällen bezogen auf dieselben Grundmengen \( \Theta_{ij}. \) In beiden Summen müssen wir nur die Summanden berücksichtigen mit \( \ell_n^*(\Theta_{ij})\not=\emptyset. \) Wählen wir aus einer solchen nichtleeren Grundmenge ein \( x\in\Theta_{ij} \) beliebig, so lassen sich die Koeffizienten \( c_i \) und \( d_j \) wie folgt aufeinander beziehen \[ \varphi(x)=c_i=d_j\,,\quad x\in\Theta_{ij}\not=\emptyset\,. \] Damit ermitteln wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{i=1}^Kc_i\ell_n^*(\Omega_i)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \sum_{i=1}^Kc_i\ell_n^*\left(\,\bigcup_{j=1}^L\Theta_{ij}\right) \,=\,\sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^Lc_i\ell_n^*(\Theta_{ij}) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \sum_{i=1}^K\sum_{j=1}^Ld_j\ell_n^*(\Theta_{ij}) \,=\,\sum_{j=1}^Ld_j\ell_n^*\left(\,\bigcup_{i=1}^K\Theta_{ij}\right) \,=\,\sum_{j=1}^Ld_j\ell_n^*(\Omega_j^*). \end{array} \] Das beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)

Wir führen folgende Funktionenklassen ein \[ \begin{array}{lll} S_f\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{\{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\,:\,0\le\varphi^{(1)}\le\varphi^{(2)}\le\ldots\le f\ \text{einfach,}\ \varphi^{(k)}\nearrow f\}\,, \\[0.8ex] T_f\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{\{\psi^{(\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots}\,:\,0\le\psi^{(\ell)}\le f\ \text{einfach}\}\,. \end{array} \] Ist nun \( \{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots}\in S_f, \) so gilt offenbar \[ \int\limits_\Omega\varphi^{(k)}(x)\,d\ell_n(x) \le\sup\left\{\,\int\limits_\Omega\varphi(x)\,d\ell_n(x)\,:\,0\le\varphi\le f\ \text{einfach}\right\} \] für alle \( k=1,2,\ldots \) und damit auch im Grenzwert, der, an dieser Stelle ohne Einschränkung und nach Annahme in \( \mathbb R \) existiert und dann nach obiger Bemerkung unabhängig von der Wahl der approximierenden Folge aus \( S_f \) ist, \[ \int\limits_\Omega\varphi^{(k)}(x)\,d\ell_n(x) \le\lim_{k\to\infty}\int\limits_\Omega\varphi^{(k)}(x)\,d\ell_n(x) \le\sup\left\{\,\int\limits_\Omega\varphi(x)\,d\ell_n(x)\,:\,0\le\varphi\le f\ \text{einfach}\right\}. \] Wir bezeichnen den Grenzwert links mit \( S, \) das Supremum rechts mit \( T. \) Angenommen, es gilt \( S\lt T. \) Sei \( \{\psi^{(\ell)}\}_{\ell=1,2,\ldots}\in T_f \) eine Folge einfacher Funktionen mit \( \psi^{(\ell)}\to T. \) Dann existiert ein Index \( L\in\mathbb N \) mit \[ S\lt\int\limits_\Omega\psi^{(\ell)}(x)\,d\ell_n(x)\le T\quad\text{für alle}\ \ell\ge L. \] Wegen \( \psi^{(L)}\le f \) können wir aber \( \psi^{(L)} \) als erstes Element einer Folge aus \( S_f \) wählen, d.h., mit \( \psi^{(L)} \) beginnend, konstruieren wir eine die Funktion \( f \) monoton wachsend und punktweise approximierende Folge einfacher Funktionen aus \( S_f. \) Dann muss aber wieder gelten \[ \int\limits_\Omega\psi^{(L)}(x)\,d\ell_n(x)\le S, \] und das ist ein Widerspruch. Also gilt \( S=T.\qquad\Box \)

\[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\chi_{\Omega_i}(x). \]

\[ \int\limits_\Omega\alpha\varphi\,d\ell_n(x) =\sum_{i=1}^N\alpha c_i\ell_n^*(\Omega_i) =\alpha\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega_i) =\alpha\int\limits_\Omega\varphi\,d\ell_n(x), \]

\[ \begin{array}{l} \alpha f=(\alpha f)^+-(\alpha f)^-=\alpha f^+-\alpha f^-\,,\quad\text{falls}\ \alpha\ge 0, \\[0.6ex] \alpha f=(\alpha f)^+-(\alpha f)^-=\alpha f^--\alpha f^+=|\alpha|f^+-|\alpha|f^-\,,\quad\text{falls}\ \alpha\lt 0. \end{array} \] Ein Approximationsargument beweist den Satz.\( \qquad\Box \)

Zunächst bemerken wir, dass \( f, \) eingeschränkt auf ein beliebiges der \( \Omega_k, \) wieder Lebesguemessbar ist, denn für \( c\in\mathbb R \) ist die Menge \[ \{x\in\Omega_k\,:\,f(x)\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\cap\Omega_k \] Lebesguemessbar, da der Durchschnitt auf der rechten Seite Lebesguemessbar ist. Die Lebesgueintegrierbarkeit der nichtnegativen Funktion \( f \) auf \( \Omega_k \) bedeutet dann \[ \int\limits_{\Omega_k}f(x)\,d\ell_n(x)=\int\limits_{\Omega\cap\Omega_k}f(x)\,d\ell_n(x)\lt\infty\,. \] Sei nun \( f \) die einfache Funktion \( \varphi. \) Wir setzen \[ \Omega_+:=\{x\in\Omega\,:\,\varphi(x)\gt 0\}\,. \] Dass \( \varphi \) Lebesgueintegrierbar auf jeder Menge \( \Theta_j \) ist, bedeutet \[ \ell_n^*(\Theta_j\cap\Omega_+)\lt\infty\quad\text{für alle}\ j=1,\ldots,M, \] und es folgt \[ \ell_n^*(\Omega\cap\Omega_+)=\sum_{j=1}^M\ell_n^*(\Theta_j\cap\Omega_+)\lt\infty\,. \] Also ist \( \varphi \) Lebesgueintegrierbar auf der gesamten Menge \( \Omega. \) Sei nun wie üblich \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\chi_{\Omega_i}(x). \] Wir berechnen \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{k=1}^K\,\int\limits_{\Theta_k}\varphi(x)\,d\ell_n(x)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^N c_i\ell_n^*(\Omega_i\cap\Theta_k) \,=\,\sum_{i=1}^Nc_i\sum_{k=1}^K\ell_n^*(\Omega_i\cap\Theta_k) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega\cap\Omega_i) \,= \,\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega_i) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_\Omega\varphi(x)\,d\ell_n(x). \end{array} \] Damit zeigt die Behauptung für nichtnegative einfache Funktionen. Die Behauptung des Hilfssatzes folgt nach Approximation der nichtnegativen, Lebesguemessbaren Funktion durch nichtnegative einfache Funktionen.\( \qquad\Box \)

Wir gehen nach → M.E. Munroe, Abschnitt 25, vor.

\[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Mc_i\chi_{\Omega_i}(x),\quad \psi(x):=\sum_{j=1}^Nd_j\chi_{\Theta_j}(x),\quad x\in\Omega. \]

\[ \Sigma_{ij}:=\Omega_i\cap\Theta_j\,,\quad i=1,\ldots,M,\ j=1,\ldots,N, \]

\[ \Omega_i=\bigcup_{j=1}^N\Sigma_{ij}\,,\quad \Theta_j=\bigcup_{i=1}^M\Sigma_{ij}\,, \]

\[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Nc_i\chi_{\Sigma_{ij}}(x),\quad \psi(x)=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Nd_j\chi_{\Sigma_{ij}}(x),\quad x\in\Omega. \]

\[ \alpha\varphi(x)+\beta\psi(x)=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(\alpha c_i+\beta d_j)\chi_{\Sigma_{ij}}(x),\quad x\in\Omega, \]

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_\Omega\big\{\alpha\varphi(x)+\beta\psi(x)\big\}\,d\ell_n(x) \,=\,\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(\alpha c_i+\beta d_j)\ell_n^*(\Sigma_{ij}) \\[1.6ex] \qquad=\,\displaystyle \alpha\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Nc_i\ell_n^*(\Sigma_{ij})+\beta\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Nd_j\ell_n^*(\Sigma_{ij}) \\[1.6ex] \qquad=\,\displaystyle \alpha\sum_{i=1}^Mc_i\ell_n^*(\Omega_i)+\beta\sum_{j=1}^Nd_j\ell_n^*(\Theta_j) \\[1.6ex] \qquad=\,\displaystyle \alpha\int\limits_\Omega\varphi(x)\,d\ell_n(x)+\beta\int\limits_\Omega\psi(x)\,d\ell_n(x). \end{array} \]

\[ \Sigma_1:=\{x\in\Omega\,:\,f(x)g(x)\ge 0\}\,. \]

\[ \begin{array}{l} \Sigma_1 \,=\,\big[\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge 0\}\cap\{x\in\Omega\,:\,g(x)\ge 0\}\big]\cup\ldots \\[0.8ex] \qquad\qquad\quad\ldots\cup\big[\{x\in\Omega\,:\,f(x)\le 0\}\cap\{x\in\Omega\,:\,g(x)\le 0\}\big], \end{array} \]

\[ (f+g)^+=f^++g^+\,,\quad (f+g)^-=f^-+g^-\,, \]

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f+g)\,d\ell_n(x) \,=\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f+g)^+\,d\ell_n(x)-\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f+g)^-\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] \qquad\displaystyle =\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f^++g^+)\,d\ell_n(x)-\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f^-+g^-)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] \qquad\displaystyle =\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}f^+\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}g^+\,d\ell_n(x) -\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}f^-\,d\ell_n(x)-\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}g^-\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] \qquad\displaystyle =\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(f^+-f^-)\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}(g^+-g^-)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] \qquad\displaystyle =\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}f\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_1}g\,d\ell_n(x). \end{array} \]

\[ \Sigma_2:=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge 0,\ g\lt 0\}\,. \]

\[ \Sigma_2=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge 0\}\cap\{x\in\Omega\,:\,g(x)\lt 0\} \]

\[ \begin{array}{rcl} \Sigma_2^+\!\!\! & := & \!\!\! \{x\in\Sigma_2\,:\,f(x)+g(x)\ge 0\}\,, \\[0.6ex] \Sigma_2^-\!\!\! & := & \!\!\! \{x\in\Sigma_2\,:\,f(x)+g(x)\lt 0\}\,. \end{array} \]

\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}f\,d\ell_n(x)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}(f+g-g)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}(f+g)\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}(-g)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}(f+g)\,d\ell_n(x)-\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}g\,d\ell_n(x) \end{array} \]

\[ \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}(f+g)\,d\ell_n(x)=\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}f\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^+}g\,d\ell_n(x). \]

\[ \begin{array}{lll} \displaystyle -\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}g\,d\ell_n(x)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}(-g)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}(-f-g+f)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}(-f-g)\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}f\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle -\,\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}(f+g)\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}f\,d\ell_n(x). \end{array} \]

\[ \int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}(f+g)\,d\ell_n(x)=\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}f\,d\ell_n(x)+\int\limits_{\Omega\cap\Sigma_2^-}g\,d\ell_n(x). \]

\[ \Sigma_3:=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt 0,\ g(x)\ge 0\}\,. \] Nach wiederholter Verwendung dieses → Hilfssatzes ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

Es sei wie üblich \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\chi_{\Omega_i}(x),\quad x\in\Omega, \] gesetzt, und es seien \( \Theta_j, \) \( j=1,2,\ldots, \) abzählbar viele, paarweise disjunkte und Lebesguemessbare Mengen. Dann berechnen wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \Phi\left(\,\bigcup_{j\ge 1}\Theta_j\right)\!\!\! & = & \displaystyle\!\! \int\limits_{\Theta_1\cup\Theta_2\cup\ldots}\varphi(x)\,d\ell_n(x) \,=\,\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*\left(\Omega_i\cap\bigcup_{j\ge 1}\Theta_j\right) \\[1.6ex] & = & \displaystyle\!\! \sum_{i=1}^Nc_i\sum_{j\ge 1}\ell_n^*(\Omega_i\cap\Theta_j) \,=\,\sum_{j\ge 1}\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega_i\cap\Theta_j) \\[1.6ex] & = & \displaystyle\!\! \sum_{j\ge 1}\,\int\limits_{\Theta_j}\varphi(x)\,d\ell_n(x) \,=\,\sum_{j\ge 1}\Phi(\Theta_j). \end{array} \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Es ist zunächst \[ \lambda\chi_{\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\lambda\}}(x)\le f(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega \] mit der charakteristischen Funktion \( \chi. \) Die Menge \( \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\lambda\} \) ist Lebesguemessbar, so dass Integration liefert \[ \lambda\ell_n^*(\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\lambda\}) =\int\limits_\Omega\lambda\chi_{\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\lambda\}}(x)\,d\ell_n(x) \le\int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x) \] nach dem Satz aus Paragraph 16.3.4 sowie unter Beachtung der Monotonie des Lebesgueintegrals. Nach Umstellen folgt \[ \ell_n^*(\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\lambda\})\le\frac{1}{\lambda}\,\int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x) \] und damit die Behauptung.\( \qquad\Box \)

Wir zeigen zwei Richtungen.

\[ f(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\chi_{\Omega_i}(x) \]

\[ \int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega_i). \]

\[ \begin{array}{rcl} \Theta_k\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge\frac{1}{k}\right\}, \\[1.0ex] \Theta\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \big\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt 0\big\} \,=\,\bigcup_{k\ge 1}\Theta_k\,. \end{array} \]

\[ 0\lt\frac{1}{k}\cdot\ell_n^*(\Theta_k)\le\int\limits_{\Theta_k}f(x)\,d\ell_n(x)\le\int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x) \]

Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

Die Funktion \( |f| \) ist, wie \( f \) selbst, Lebesgueintegrierbar und besitzt endliches Lebesgueintegral. Für \( \lambda\gt 0 \) liefert daher die Tschebyschevsche Ungleichung \[ \ell_n^*(\{x\in\Omega\,:\,|f(x)|\gt\lambda\}) \le\frac{1}{\lambda}\,\int\limits_\Omega|f(x)|\,d\ell_n(x) \lt\infty\,. \] Das zeigt (i), und (ii) folgt unmittelbar, denn wäre (ii) falsch, so existiert ein \( \mu_0\gt 0 \) mit \[ 0\lt\mu_0\le\ell_n^*(\{x\in\Omega\,:\,|f(x)|\gt\lambda\})\le\frac{1}{\lambda}\,\int\limits_\Omega|f(x)|\,d\ell_n(x) \] für alle \( \lambda\gt 0, \) was ein Widerspruch ist.\( \qquad\Box \)

Wir gehen in zwei Schritten vor.

\[ \Theta^+:=\Theta\cap\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt 0\}\,,\quad \Theta^-:=\Theta\cap\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt 0\}\,. \]

\[ \int\limits_\Theta f(x)^+\,d\ell_n(x)=\int\limits_{\Theta^+}f(x)\,d\ell_n(x),\quad -\,\int\limits_\Theta f(x)^-\,d\ell_n(x)=\int\limits_{\Theta^-}f(x)\,d\ell_n(x) \]

\[ \int\limits_\Theta f(x)^+\,d\ell_n(x)=0,\quad \int\limits_\Theta f(x)^-\,d\ell_n(x)=0 \]

\[ \Omega_k:=\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge\frac{1}{k}\right\}. \]

\[ \frac{1}{k}\cdot\ell_n^*(\Omega_k)\le\int\limits_{\Omega_k}f(x)\,d\ell_n(x)=0 \quad\mbox{für alle}\ k=1,2,\ldots, \]

\[ \ell_n^*(\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt 0\}) \le\sum_{k\ge 1}\ell_n^*(\Omega_k) =0. \]

Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)

Zunächst existiert eine monoton wachsende Folge \( \{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) nichtnegativer, einfacher Funktionen \( \varphi^{(k)}, \) die \( |f| \) punktweise in \( \Omega \) approximiert, so dass \[ \int\limits_\Omega|f(x)|\,d\ell_n(x)=\lim_{k\to\infty}\int\limits_\Omega\varphi^{(k)}(x)\,d\ell_n(x). \] Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) finden wir also eine nichtnegative, einfache Funktion \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^Nc_i\chi_{\Omega_i}(x),\quad x\in\Omega, \] mit Koeffizienten \( c_i\ge 0 \) für alle \( i=1,\ldots,N \) und \[ \int\limits_\Omega|f(x)|\,d\ell_n(x)-\int\limits_\Omega\varphi(x)\,d\ell_n(x) =\int\limits_\Omega\big\{|f(x)|-\varphi(x)\big\}\,d\ell_n(x) \lt\frac{\varepsilon}{2}\,. \] Setze \[ C:=\max_{1\le i\le N}\{c_1,\ldots,c_N\}\,. \] Dann erhalten wir \[ \begin{array}{lll} \displaystyle \int\limits_\Theta|f(x)|\,d\ell_n(x)\!\!\! & = & \!\!\!\displaystyle \int\limits_\Theta\big\{|f(x)|-\varphi(x)\big\}\,d\ell_n(x)+\int\limits_\Theta\varphi(x)\,d\ell_n(x) \\[1.6ex] & = & \!\!\!\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}+\int\limits_\Theta\varphi(x)\,d\ell_n(x). \end{array} \] Weiter ist \[ \int\limits_\Theta\varphi(x)\,d\ell_n(x) =\sum_{i=1}^Nc_i\ell_n^*(\Omega_i\cap\Theta) \le CN\ell_n^*(\Theta). \] Setzen wir nun \[ \delta:=\frac{\varepsilon}{2CN}\,, \] so folgt unter der Voraussetzung \( \ell_n^*(\Theta)\lt\delta \) zusammenfassend \[ \int\limits_\Theta|f(x)|\,d\ell_n(x) \lt\frac{\varepsilon}{2}+CN\ell_n^*(\Theta) \lt\frac{\varepsilon}{2}+CN\delta \lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)