Elementare Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Einleitung

Unter der Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb N \) verstehen wir die unendliche Zahlenmenge \[ \mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\}\,. \] Mit einer Addition \( + \) und einer Multiplikation \( \cdot \) existieren ferner zwei Verknüpfungen zwischen den Elementen von \( \mathbb N, \) die wir als natürliche Zahlen bezeichnen.

Um die Menge \( \mathbb N \) und das Rechnen mit der Addition und der Multiplikation innerhalb dieser Menge eindeutig zu charakterisieren, stellen wir, der Monographi → N.L. Biggs folgend, verschiedene algebraische Axiome, Ordnungsaxiome sowie das Induktionsaxiom an den Beginn unserer Untersuchungen.

Algebraische Axiome

Unsere ersten beiden Axiome sichern, dass Addition und Multiplikation tatsächlich innerhalb der Menge \( \mathbb N \) operieren.

Addition und Multiplikation genügen nun den nachstehenden algebraischen Axiomen:

Dabei handelt es sich der Reihe nach um das (3) Kommutativgesetz der Addition, das (4) Assoziativgesetz der Addition, das (5) Kommutativgesetz der Multiplikation, das (6) Assoziativgesetz der Multiplikation und das (7) Distributivgesetz.

Desweiteren benötigen wir folgende Kürzungsregeln:

Tatsächlich lässt sich Axiom (8) unter Verwendung der unten einzführenden Ordnungsrelation \( \lt \) beweisen und muss daher nicht axiomatisch gefordert werden. Wir nehmen es aus rein didaktischen Gründen in unsere Liste der algebraischen Axiome auf.

Schließlich zeichnen wir eine natürliche Zahl als neutrales Element der Multiplikation aus.

Statt \( m\cdot n \) schreiben wir in Zukunft gewöhnlich \( mn. \)

Erweiterung mit der Zahl \( 0 \)

Wir erweitern \( \mathbb N \) zu der Menge \[ \mathbb N_0:=\mathbb N\cup\{0\}\,. \] Das neue Element \( 0 \) genüge dabei den folgenden Axiomen:

Wegen (11) bezeichnen wir \( 0\in\mathbb N_0 \) als das neutrale Element der Addition. Ein solches Element existiert in \( \mathbb N \) nicht, denn beispielsweise impliziert \[ 0\cdot 1=0=0\cdot 2 \] ja nicht \( 1=2, \) was Axiom (8) aber erfordert.

Ferner verlangen wir:

Einführung einer Ordnungsrelation

Wir führen die folgende Relation ein.

Wir vereinbaren ferner \[ \begin{array}{ll} m\ge n & \quad\text{falls}\ n\lt m \\[0.8ex] m\le n & \quad\text{falls}\ m\le n\ \text{oder}\ m=n \\[0.8ex] m\ge n & \quad\text{falls}\ n\le m \end{array} \]

Beispiel: Es gilt \( m\lt m+1 \) für alle \( m\in\mathbb N_0, \) insbesondere also \( 0\lt 1. \)

Wir bezeichnen \( m+1 \) auch als Nachfolger der Zahl \( m. \) Es besitzt also jede natürliche Zahl einen eindeutigen Nachfolger. Hingegen besitzt nicht jede natürliche Zahl \( m\in\mathbb N \) auch einen Vorgänger, also eine Zahl \( x\in\mathbb N \) mit der Eigenschaft \[ 1+x=m, \] denn wie unter Verwendung des Prinzips der vollständigen Induktion gezeigt werden kann, gilt tatsächlich \[ 1\le m\quad\text{für alle}\ m\in\mathbb N, \] so dass \( 1 \) in \( \mathbb N \) keinen Vorgänger besitzt. Zum Beweis dieser Ungleichung benötigt man jedoch folgendes Prinzip der Trichotomie:

Das Induktionsaxiom

Dieses letzte Axiom, welches wir für eine eindeutige Charakterisierung der natürlichen Zahlen \( \mathbb N \) benötigen (und welches inhaltlich ebenso für \( \mathbb N_0 \) anstelle für \( \mathbb N \) formuliert werden kann), lautet:

Beispiel: Es sei \( M\subseteq\mathbb N \) eine Teilmenge von \( \mathbb N \) mit \( 1\in M \) und der Eigenschaft, dass \( m+1\in M, \) falls \( m\in M. \) Wir setzen als zu untersuchende Aussage \[ A_n\,:\quad\text{es ist}\ n\in M. \] Dann gilt \( A_1 \) nach Voraussetzung, und aus der Richtigkeit von \( A_m \) folgt die Richtigkeit von \( A_{m+1}. \) Das Induktionsaxiom (13) besagt nun, dass \( A_n \) und damit \( n\in M \) für alle \( n\in\mathbb N \) richtig ist, d.h. \( \mathbb N\subseteq M. \) Wir schließen daher auf \( M=\mathbb N. \)

Damit haben wir die klassische Form des sogenannten Peano-Dedekindschen Induktionsaxioms gewonnen (welches wir für \( \mathbb N \) wie auch für \( \mathbb N_0 \) formulieren können):

Die Gaußsche Summenformel

Wir bezeichnen das Induktionsaxiom auch als Prinzip der vollständigen Induktion. Führen wir vermittels dieses Prinzips einen mathematischen Beweis, so vereinbaren wir auch folgende Bezeichnungen:

Beispiel: Es ist zu zeigen, dass für alle \( n\in\mathbb N:=\mathbb N_0\setminus\{0\} \) folgende Gaußsche Summenformel gilt (wir verwenden aus Gründen der Übersichtkeit die bereits aus der Schule bekannten Büche) \[ A_n\,:\ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \tag{\(*\)} \] unter Verwendung des Summationszeichens \[ \sum_{k=1}^n\alpha_k:=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\ldots+\alpha_{n-1}+\alpha_n\,,\quad n\in\mathbb N. \] Zum Beweis verwenden wir das Prinzip der vollständigen Induktion.

\[ \sum_{k=1}^1k=1 \quad\mbox{und}\quad \frac{n(n+1)}{2}\,\Big|_{n=1}=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1. \]

\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \sum_{k=1}^{m+1}k\negthickspace & = & \displaystyle\negthickspace \sum_{k=1}^mk+(m+1) \,=\,\frac{m(m+1)}{2}+(m+1) \\[1ex] & = & \displaystyle\negthickspace \frac{m(m+1)+2(m+1)}{2} \,=\,\frac{(m+1)(m+2)}{2}\,, \end{array} \]

und das ist die Aussage \( A_{m+1}. \) Aus der Richtigkeit von \( A_m \) folgt also die Richtigkeit von \( A_{m+1}, \) und nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist damit \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N \) richtig.\( \qquad\Box \)