Es sei \( f \) Lebesguemessbar. Betrachte die folgenden Mengen \[ \begin{array}{lll} \Omega_1\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge c\} \,=\,\bigcap_{k=1}^\infty\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c-\frac{1}{k}\right\}, \\ \Omega_2\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c\} \,=\,\Omega\setminus\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge c\}, \\ \Omega_3\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\le c\} \,=\,\bigcap_{k=1}^\infty\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c+\frac{1}{k}\right\}, \\ \Omega_4\!\!\! & := & \!\!\!\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\} \,=\,\Omega\setminus\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\le c\right\}. \end{array} \] Wir argumentieren nun wie folgt:

Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)

Mit einem beliebigen \( c\in\mathbb R \) betrachten wir die offene Menge \[ \Theta:=(c,+\infty)\subset\mathbb R. \] Da \( f \) stetig ist, ist das Urbild \( f^{-1}(\Theta) \) ebenfalls offen und damit Lebesguemessbar. Das zeigt die Behauptung.\( \qquad\Box \)

Wir betrachten nur den Fall \( f(x)\equiv C\in\mathbb R. \) Dann ist \[ \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,C\gt c\}\,, \] und für fest gewähltes \( c \) ist diese Menge leer, falls \( C\le c, \) und für \( C\gt c \) stimmt sie mit \( \Omega \) überein. In jedem Fall ist die Menge Lebesguemessbar.\( \qquad\Box \)

Wir beachten nämlich \[ \begin{array}{l} \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt g(x)\} \\[2ex] \quad\displaystyle =\,\bigcup_{r\in\mathbb Q}\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt r\gt g(x)\} \\[2ex] \quad\displaystyle =\,\bigcup_{r\in\mathbb Q}\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt r\}\cap\{x\in\Omega\,:\,r\gt g(x)\}\,. \end{array} \] Die abzählbare Vereinigung rechts ist Lebesguemessbar, woraus die Behauptung folgt.\( \qquad\Box \)

\[ \{x\in\Omega\,:\,|f(x)|\lt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c\}\cap\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt -c\}\,. \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,(f\wedge g)(x)\gt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\cap\{x\in\Omega\,:\,g(x)\gt c\} \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,(f\vee g)(x)\gt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\cup\{x\in\Omega\,:\,g(x)\gt c\}\,. \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,f(x)+\alpha\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c-\alpha\}\,, \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,\alpha f(x)\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\alpha^{-1}c\}\,,\quad\text{falls}\ \alpha\gt 0, \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,\alpha f(x)\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt\alpha^{-1}c\}\,,\quad\text{falls}\ \alpha\lt 0. \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,f(x)+g(x)\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c-g(x)\}\,. \]

\[ \{x\in\Omega\,:\,f(x)^2\gt c\}=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt\sqrt{c}\}\cup\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt-\sqrt{c}\}\,. \]

\[ fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}\,, \]

Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)

Es gilt zunächst, wie wir nachweisen wollen, \[ A:=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}=\bigcup_{k=1}^\infty\{x\in\Omega\,:\,f_k(x)\gt c\}=:B. \] Sei nämlich \( z\in A. \) Dann gilt \( f(z)\gt c, \) und es existiert ein \( m\in\mathbb N \) mit \( f_m(z)\gt c \) und damit \( z\in B,\) was \( A\subseteq B \) zeigt. Sei andererseits \( z\in B. \) Dann existiert ein \( m\in\mathbb N \) mit \( f_m(z)\gt c, \) und es folgt \( z\in A, \) was \( B\subseteq A \) zeigt. Es folgt die behauptete Mengenidentität. Diese Identität bedeutet aber, dass \( A \) als abzählbare Vereinigung Lebesguemessbarer Mengen ebenfalls Lebesguemessbar ist, d.h. es ist auch \( f \) Lebesguemessbar. Die Lebesguemessbarkeit von \( g \) folgt aus \[ \inf\,\{f_k(x)\,:\,k\in\mathbb N\}=\sup\,\{-f_k(x)\,:\,k\in\mathbb N\}\,. \] Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)

Nach → F. Sauvigny, Kapitel 1, Abschnitt 1.3, Satz 1.24, gelten \[ \begin{array}{l} \displaystyle \limsup_{k\to\infty}f_k(x)=\inf\Big\{\sup\,\{f_k(x)\,:\,k\ge n\}\,:\,n\in\mathbb N\Big\}\,, \\[1ex] \displaystyle \liminf_{k\to\infty}f_k(x)=\sup\Big\{\inf\,\{f_k(x)\,:\,k\ge n\}\,:\,n\in\mathbb N\Big\}\,. \end{array} \] Nach unserem vorigen Satz sind aber die rechten Seiten Lebesguemessbar, weshalb auch die linken Seiten \( f \) und \( g \) Lebesguemessbar sind. Existiert schließlich der punktweise Grenzwert, so stimmt er mit \( f \) bzw. \( g \) überein und ist damit ebenfalls Lebesguemessbar.\( \qquad\Box \)

Da \( f \) Lebesguemessbar ist, sind auch \( f^+ \) und \( f^- \) Lebesguemessbar. Unter Beachtung von \[ f(x)=f^+(x)-f^-(x),\quad x\in\Omega, \] genügt es also, nichtnegative Funktionen zu betrachten und für den allgemeinen Fall die nachfolgende Argumentation auf \( f^+ \) und \( f^- \) anzuwenden. Es sei \( f\ge 0. \) Auf den Mengen \[ \Omega_i^k:=\left\{x\in\Omega\,:\,\frac{i-1}{2^k}\le f(x)\lt\frac{i}{2^k}\right\},\quad \Omega_\infty^k:=\{x\in\Omega\,:\,k\le f(x)\} \] betrachten wir die einfachen Funktionen \[ \varphi^{(k)}(x):=\sum_{i=1}^{k\cdot 2^k}\frac{i-1}{2^k}\,\chi_{\Omega_i^k}(x)+k\chi_{\Omega_\infty^k}(x),\quad k=1,2,\ldots \] Zur Veranschaulichung der monotonen und punktweisen Konvergenz betrachten wir insbesondere die Funktionen \( \varphi^{(1)} \) und \( \varphi^{(2)}, \) zunächst also \[ \varphi^{(1)}(x) =0\cdot\chi_{\Omega_1^1}(x)+\frac{1}{2}\,\chi_{\Omega_2^1}(x)+\chi_{\Omega_\infty^1}(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle 0, & \displaystyle \text{falls}\quad 0\le f(x)\lt\frac{1}{2} \\[1ex] \displaystyle \frac{1}{2}\,,\ & \displaystyle\text{falls}\quad \frac{1}{2}\le f(x)\lt 1 \\[1ex] 1, & \text{falls}\quad 1\le f(x) \end{array} \right. \] mit den Mengen \[ \Omega_2^1=\left\{x\in\Omega\,:\,\frac{1}{2}\le f(x)\lt 1\right\},\quad \Omega_\infty^1=\{x\in\Omega\,:\,1\le f(x)\}\,. \] Offenbar gilt \[ \varphi^{(1)}(x)\le f(x),\quad x\in\Omega. \] Für \( k=2 \) haben wir \[ \begin{array}{rcl} \varphi^{(2)}(x)\!\!\! & = & \displaystyle\!\!\! 0\cdot\chi_{\Omega_1^2}(x)+\frac{1}{4}\,\chi_{\Omega_2^2}(x)+\frac{2}{4}\,\chi_{\Omega_3^2}(x)+\frac{3}{4}\,\chi_{\Omega_4^2}(x)+\frac{4}{4}\,\chi_{\Omega_5^2}(x) \\[1.8ex] & & \displaystyle\!\!\! +\,\frac{6}{4}\,\chi_{\Omega_6^2}(x)+\frac{7}{4}\,\chi_{\Omega_7^2}(x)+2\chi_{\Omega_\infty^2}(x) \end{array} \] bzw. ausführlicher \[ \varphi^{(2)}(x) =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle 0, & \displaystyle\text{falls}\quad 0\le f(x)\lt\frac{1}{4} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{1}{4}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{1}{4}\le f(x)\lt\frac{1}{2} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{1}{2}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{1}{2}\le f(x)\lt\frac{3}{4} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{3}{4}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{3}{4}\le f(x)\lt 1 \\[1.8ex] \displaystyle 1, & \displaystyle\text{falls}\quad 1\le f(x)\lt\frac{5}{4} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{5}{4}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{5}{4}\le f(x)\lt\frac{6}{4} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{6}{4}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{6}{4}\le f(x)\lt\frac{7}{4} \\[1.8ex] \displaystyle \frac{7}{4}\,, & \displaystyle\text{falls}\quad\frac{7}{4}\le f(x)\lt\frac{8}{4} \\[1.8ex] \displaystyle 2, & \displaystyle\text{falls}\quad 2\le f(x) \end{array} \right.. \] Offenbar gilt \[ \varphi^{(1)}(x)\le\varphi^{(2)}(x)\le f(x),\quad x\in\Omega. \] Dieses Verfahren setzen wir sukzessive fort. Ist nun \( f(x)\le M \) für ein \( x\in\Omega \) mit einem \( M\in\mathbb R, \) so existiert ein \( i\in\mathbb N \) mit \[ i-1\le 2^M\cdot f(x)\lt i\quad\text{bzw.}\quad\frac{i-1}{2^M}\le f(x)\lt\frac{i}{2^M} \] und damit \( x\in\Omega_i^M. \) Es folgt \[ |f(x)-\varphi^{(M)}(x)|\lt\frac{1}{2^M}\,, \] d.h. die Folge \( \{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) konvergiert punktweise monoton wachsend gegen \( f. \) Gilt \( |f(x)|\le M \) für alle \( x\in\Omega, \) so gilt vorige Abschätzung gleichmäßig auf \( \Omega. \) Im Fall \( f(x)=+\infty \) für ein \( x\in\Omega \) ist \( x\in\Omega_\infty^k \) für alle \( k=1,2,\ldots\qquad\Box \)