Präsenzblatt 6
Aufgabe PA 23 (Zykel als Produkt von Paarvertauschungen I)
Stellen Sie folgende Zykel \( \omega \) der Länge \( 3 \) als Produkt \( \omega=\sigma\circ\tau \) von zwei Paarvertauschungen \( \sigma,\tau \) dar.
| (i) | \( \displaystyle\omega=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right) \) bzw. \( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\omega=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \) bzw. \( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \) |
Aufgabe PA 24 (Eine Aufgabe aus einer ehemaligen H\"orerschaft)
Bestimmen Sie eine Permutation \( \sigma\in S_4, \) so dass jedes Paar \( (i,j) \) mit \( 1\le i\lt j\le 4 \) eine Inversion darstellt. Begründen Sie.
Aufgabe PA 25 (Vorzeichen von Permutationen I)
Bestimmen Sie die Vorzeichen folgender Permutation \[ \sigma\in S_5\quad\mbox{vermöge}\quad \sigma:\,\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{array}\right). \]
Aufgabe PA 26 (Produkt der Vorzeichen von Permutationen I)
Es seien \( \sigma,\tau\in S_n \) zwei Permutationen. Verifizieren Sie die Produktformel \[ \mbox{sgn}(\sigma\circ\tau)=\mbox{sgn}(\sigma)\cdot\mbox{sgn}(\tau) \] aus der Vorlesung am Beispiel \[ \begin{array}{lll} \sigma\in S_4 & \mbox{vermöge} & \sigma:\,\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right), \\[3ex] \tau\in S_4 & \mbox{vermöge} & \tau:\,\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right). \end{array} \]