Präsenzblatt 6

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Aufgabe PA 23 (Zykel als Produkt von Paarvertauschungen I)

 

Stellen Sie folgende Zykel $\omega$ der Länge $3$ als Produkt $\omega=\sigma\circ\tau$ von zwei Paarvertauschungen $\sigma,\tau$ dar.

 

(i)	$\displaystyle\omega=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$ bzw. $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$
(ii)	$\displaystyle\omega=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right)$ bzw. $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$

 

Lösung

 

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Aufgabe PA 24 (Eine Aufgabe aus einer ehemaligen H\"orerschaft)

 

Bestimmen Sie eine Permutation $\sigma\in S_4,$ so dass jedes Paar $(i,j)$ mit $1\le i\lt j\le 4$ eine Inversion darstellt. Begründen Sie.

 

Lösung

 

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Aufgabe PA 25 (Vorzeichen von Permutationen I)

 

Bestimmen Sie die Vorzeichen folgender Permutation $$\sigma\in S_5\quad\mbox{vermöge}\quad \sigma:\,\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{array}\right).$$

 

Lösung

 

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Aufgabe PA 26 (Produkt der Vorzeichen von Permutationen I)

 

Es seien $\sigma,\tau\in S_n$ zwei Permutationen. Verifizieren Sie die Produktformel $$\mbox{sgn}(\sigma\circ\tau)=\mbox{sgn}(\sigma)\cdot\mbox{sgn}(\tau)$$ aus der Vorlesung am Beispiel $$\begin{array}{lll} \sigma\in S_4 & \mbox{vermöge} & \sigma:\,\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right), \\[3ex] \tau\in S_4 & \mbox{vermöge} & \tau:\,\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{array}\right). \end{array}$$

 

Lösung

 

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