Hausaufgabenblatt 3

Aufgabe HA 9

Es seien \( M \) eine nichtleere Menge, ferner \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( M, \) und \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] bezeichne die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass dann für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad K_a=K_b\,. \]

Aufgabe HA 10

Für natürliche Zahlen \( k,\ell,m,n\in\mathbb N_0 \) wurde in der Vorlesung die Addition zwischen ganzen Zahlen erklärt gemäß \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z} \] Beweisen Sie, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der verwendeten Äquivalenzklassen ist, d.h. mit \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) gilt genauer \[ [(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z}=[(k'+m',\ell'+n')]_{\mathbb Z}\,. \]

Aufgabe HA 11

Es sei \( n\in\mathbb N. \) Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für die Summe \[ S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}\quad\mbox{für}\ n\ge 2. \] Gegen welchen Wert \( S \) konvergiert \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \) Geben Sie dabei \( S \) ohne weitere Begründung an.

Aufgabe HA 12

Einerseits gibt es „weniger“ Quadratzahlen (d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in \mathbb N \)) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich, aber z.B. die Zahl \( 3 \) kein Quadrat ist. Andererseits, so argumentierte G. Galilei, gibt es „genauso viele“ Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?