Hausaufgabenblatt 6

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Aufgabe HA 21

 

Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ (1+x)^n\ge 1+nx\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N\ \mbox{und alle}\ x\ge -1. \]

 

Aufgabe HA 22

 

Es sei \( x\in\mathbb R \) eine reelle Zahl. Beweisen Sie:

(i)	Ist \( x\gt 1, \) so existiert zu jedem \( K\gt 0 \) ein \( N(K)\gt 0 \) mit

\[ x^n\gt K\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(K). \]

(ii)	Ist \( 0\lt x\lt 1, \) so existiert zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit

\[ x^n\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]

 

Aufgabe HA 23

 

Geben Sie, ohne weitere Begründung und falls existent, eine untere Schranke, eine obere Schranke sowie Infimum und Supremum folgender Mengen \( M\subset\mathbb R \) an. Entscheiden Sie, ob es sich sogar um ein Minimum bzw. ein Maximum handelt.

(i)	\( \displaystyle M:=\left\{\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb N\right\} \)
(ii)	\( \displaystyle M:=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n\,:\,n\in\mathbb N\right\} \)
(iii)	\( \displaystyle M:=\big\{x\in\mathbb R\,:\,x^2-1\le 0\big\} \)
(iv)	\( \displaystyle M:=\left\{x\in\mathbb Q\,:\,0\le x<\sqrt{2}\right\} \)
(v)	\( \displaystyle M:=\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\,:\,m,n\in\mathbb N\right\} \)

 

Aufgabe HA 24

 

Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) konvergieren oder divergieren, und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.

 

(i)	\( x_n:=\displaystyle\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \)

(ii)	\( x_n:=\displaystyle-n+\sqrt{1+n+n^2} \)

 

Aufgabe HA 25

 

Bestimmen Sie alle reellen Häufungsstellen der folgenden Zahlenfolgen durch Untersuchen geeigneter Teilfolgen. Ermitteln Sie ferner limes inferior und limes superior. Liegt bei den Folgen \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eventuell sogar Konvergenz vor?

 

(i)	\( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\ x_n:=\frac{(-1)^n}{n} \)
(ii)	\( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\ x_n:=1+(-1)^n \)
(iii)	\( \displaystyle\{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\ x_n:=\frac{n}{n^2+1}+\big[1+(-1)^n\big]\cdot\big(-n+\sqrt{1+n+n^2}\big) \)

 

Aufgabe HA 26

 

Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) konvergente reelle Zahlenfolgen mit \( \displaystyle x=\lim_{n\to\infty}x_n \) und \( \displaystyle y=\lim_{n\to\infty}y_n. \) Beweisen Sie die folgenden Grenzwertregeln:

 

(i)	\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y \)
(ii)	\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_n\cdot y_n)=x\cdot y \)