Hausaufgabenblatt 10
Aufgabe HA 43
Vorgelegt sei eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le|x|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f \) in \( x_0=0 \) stetig ist.
Aufgabe HA 44
Es seien \( a\lt b \) reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to[a,b] \) einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert ein \( \xi\in[a,b] \) mit der Eigenschaft \[ f(\xi)=\xi. \]
Aufgabe HA 45
Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow(0,\infty) \quad\mbox{vermöge}\quad x\mapsto e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,. \]
| (i) | Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle \( x\in\mathbb R \) wohldefiniert ist. |
| (ii) | Zeigen Sie \( e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) sowie \( e^x\gt 0 \) für alle \( x\in\mathbb R. \) |
| (iii) | Zeigen Sie, dass \( f \) stetig in \( \mathbb R \) ist. |
| (iv) | Zeigen Sie, dass \( f \) in \( \mathbb R \) streng monoton wachsend ist. Es existiert also eine Umkehrfunktion |
\[ \ln\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R \]
| der natürliche Logarithmus} \( \ln x. \) Ist diese Funktion stetig in \( \mathbb R? \) | |
| (v) | Beweisen Sie die Rechenregeln |
\[ \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y,\quad \ln(x^{-1})=-\ln x \quad\mbox{für alle}\ x,y\in(0,\infty). \]
Aufgabe HA 46
Untersuchen Sie, in welchen Punkten \( x\in\mathbb R \) folgende Funktionen differenzierbar sind.
| (i) | \( f(x):=|x| \) |
| (ii) | \( g(x):=\left\{\begin{array}{cc} x^2\,, & x\le 0 \\ x, & x> 0 \end{array}\right. \) |