Hausaufgabenblatt 11

Aufgabe HA 47

Seien \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) stetige und differenzierbare Funktionen mit \[ f'(x)\gt g'(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R \quad\mbox{und}\quad f(a)=g(a)\ \mbox{für ein}\ a\in\mathbb R. \] Zeigen Sie, dass dann gilt \[ f(x)\gt g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\gt a. \]

Aufgabe HA 48

Seien \( f,g\colon\mathbb R\to\mathbb R \) gegeben mit \[ f(x)=x\cdot g(x),\quad x\in\mathbb R, \] und es sei \( g(x) \) stetig im Punkt \( x_0=0. \)

Aufgabe HA 49

Es seien \( f \) und \( g \) zwei in \( \mathbb R \) differenzierbare Funktionen mit \[ f(0)=0,\quad g(0)=1,\quad f'(x)=g(x),\quad g'(x)=-f(x) \quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Zeigen Sie, dass dann gelten \[ f(x)=\sin x,\quad g(x)=\cos x. \]

Aufgabe HA 50

Betrachten Sie die stetige Funktion \[ f(x):=\frac{1}{2(x-2)}+1,\quad x\in(2,\infty). \]

Aufgabe HA 51

Wir definieren die hyperbolischen Winkelfunktion \[ \begin{array}{ll} \cosh x\colon\mathbb R\to\mathbb R & \mbox{(Cosinus hyperbolicus)} \\[0.6ex] \sinh x\colon\mathbb R\to\mathbb R & \mbox{(Sinus hyperbolicus)} \end{array} \] vermöge \[ \cosh x:=\frac{1}{2}\,(e^x+e^{-x}),\quad \sinh x:=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x}),\quad x\in\mathbb R. \]

\[ \begin{array}{l} \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y, \\[0.6ex] \sinh(x+y)=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y, \\[0.6ex] \cosh^2x-\sinh^2x=1. \end{array} \]