Hausaufgabenblatt 12
Aufgabe HA 52
Unter Anwendung der Regel von l'Hospital sind folgende Grenzwerte zu ermitteln:
| (i) | \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \) |
Aufgabe HA 53
Wir betrachten erneut die hyperbolische Funktion \[ f(x):=\sinh x=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x}),\quad x\in\mathbb R. \]
| (i) | Stellen Sie eine Formel auf für die ersten \( k\in\mathbb N_0 \) Ableitungen |
\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\sinh x. \]
| (ii) | Bestimmen Sie das Taylorpolynom \( T_n(x,x_0) \) sowie das Lagrangesche Restglied \( R_{n+1}(x,x_0) \) in der Taylorschen Formel |
\[ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k+R_{n+1}(x,x_0) \]
| mit dem Entwicklungspunkt \( x_0=0. \) | |
| (iii) | Beweisen Sie |
\[ \lim_{n\to\infty}R_{n+1}(x,0)=0, \]
| und schließen Sie daraus auf die Taylorreihenentwicklung |
\[ \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots \]
Aufgabe HA 54
Beweisen Sie unter Verwendung der Taylorschen Formel \[ -\,\frac{1}{8}\,x^2\le\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\le 0\quad\mbox{für}\ 0\le x\lt\infty\,. \]
Aufgabe HA 55
Aus der bekannten Entwicklung \[ e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\ldots\,,\quad x\in\mathbb R, \] für die Exponentialfunktion ist folgende Approximation abzuleiten \[ \frac{1}{\sqrt{e}}\approx 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{48}+\frac{1}{384}-\frac{1}{3840}+\frac{1}{46080}=0.6065321180555\ldots \]