Präsenzblatt 5
Aufgabe PA 18
Handelt es sich im Folgenden um rationale Nullfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{1+n^2} \) |
Aufgabe PA 19
Handelt es sich im Folgenden um rationale Cauchyfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=n \) |
Aufgabe PA 20
Beweisen Sie, dass es sich bei nachstehender Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\quad x_n:=\frac{1}{\sqrt{n}} \] um eine reelle Nullfolge als auch um eine reelle Cauchyfolge handelt.
Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, und arbeiten Sie mit reellen Folgen wie mit rationalen Folgen.
Aufgabe PA 21
Beweisen Sie:
| (i) | Sind \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine (reelle) Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist auch \( \{c\cdot x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine (reelle) Nullfolge. |
| (ii) | Gibt es eine (reelle) Nullfolge \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( |x_n|\le|y_n| \) für alle \( n=1,2,\ldots, \) so ist auch \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine (reelle) Nullfolge. |